Até que ponto, a capacidade computacional para tarefas difíceis ajuda a resolver tarefas fáceis

Em resumo, a questão é: até que ponto, a capacidade computacional para tarefas difíceis realmente ajuda você a resolver tarefas fáceis. (Pode haver várias maneiras de tornar essa pergunta interessante e não trivial, e aqui está uma dessas tentativas.)

Questão 1:

Considere um circuito para resolver SAT para uma fórmula com n variáveis. (Ou para encontrar o ciclo hamiltoniano para um gráfico com arestas.) $n$

Suponha que todo portão permita o cálculo de uma função booleana arbitrária em variáveis. Para concretude, vamos tomar . $m$ $m=0.6 n$

A hipótese do tempo exponencial forte (SETH) afirma que, mesmo com portões tão fortes, precisamos do tamanho do circuito superpolinomial. De fato, precisamos do tamanho de pelo menos para cada Em certo sentido, portas na fração das variáveis que representam funções booleanas muito complicadas (muito além da completude do NP) não oferecem muita vantagem. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Podemos ainda perguntar:

(i) Podemos ter um circuito desse tamanho ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Uma resposta “não” será um vasto fortalecimento do SETH. Claro, talvez exista uma resposta fácil "Sim", que eu simplesmente sinto falta.

(ii) Se a resposta a (i) for SIM, os portões que calculam funções booleanas arbitrárias oferecem algumas vantagens em comparação aos portões que “apenas” calculam (digamos) funções NP arbitrárias; ou apenas instâncias menores do próprio SAT?

$P$

Questão 2:

$m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

$m$

$m$ $m$

$m$ $m^d$ $d$

d) Em uma etapa, você pode executar portões booleanos comuns.

$n$

(Isso pode estar relacionado a problemas conhecidos sobre computação paralela ou sobre oráculos.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
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O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

Caro Rayan, certo, me sinto mais confortável em considerar o caso não uniforme. Uma resposta sem resposta à pergunta 1 será um vasto fortalecimento do SETH não uniforme. (Eu pensei que o SETH não uniforme como um fortalecimento do SETH, mas talvez eu estivesse errado.) É possível reformular as perguntas 1 e 2 para algoritmos uniformes. Em qualquer caso, talvez com versões tão fortes de SETH e SETH não uniformes, seja possível encontrar um contra-exemplo.

— Gil Kalai

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

$2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
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Olá, @Boaz Barak. Você se importaria se eu mesclasse suas duas contas neste site?

— Lev Reyzin

Obrigado Boaz. Acho que o espírito da pergunta é o seguinte: se você ficar bem abaixo do necessário para calcular todas as funções, ainda poderá calcular uma função completa de NP.

— Gil Kalai