Consequência de PIT sobre não possuir algoritmo eficiente

Dado modo que os coeficientes de sejam delimitados por , aguarde? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

O lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui, pois é válido para campos gerais e e existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Esperamos que esse problema tenha uma des randomização eficiente.

Qual é a conseqüência se esse problema não tiver uma derandomização eficiente?

big-picture derandomization conditional-results

— András Salamon
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Como são e dado?

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer Como é dado no teste de identidade polinomial regular?

O resultado de Kabanets-Impagliazzo não diz que NÃO esperamos uma des randomização eficiente?

— Suresh Venkat

Sim. Eu pensei em trazer isso à tona, pois com a representação padrão , diferentes strings representam elementos distintos.

$\:$

$\hspace{1.76 in}$

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat: Kabanets & Impagliazzo provaram várias coisas, incluindo: 1. Se o PIT puder ser derandomizado, o NEXP não possui circuitos polisizados (booleanos) ou o permanente não possui circuitos polisizados (aritméticos); 2. Se a permanente exigir circuitos de tamanho superpoli, o PIT pode ser "fracamente" des randomizado. Como as conclusões de 1. são geralmente conjeturadas, assim como a premissa de 2., eu diria contrário a você que o resultado de KI diz que esperamos uma des aleatorização eficiente.

— Bruno

Respostas:

Como o PIT está em , se não houver derandomização eficiente, então (e, em particular, , mas isso é não é tão surpreendente, já que esperamos que isso seja verdade). Isso também implica, é claro, que , portanto, qualquer coisa que implique em se torna falso. Por exemplo, geradores de números pseudoaleatórios suficientemente fortes não existem e teria circuitos de tamanho subexponencial! $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— Joshua Grochow
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Portanto, isso vale independentemente do campo de terra (coeficientes em que com alguns limites nos coeficientes)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

De fato, como você já apontou, Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton se aplica a campos arbitrários, e tudo o que precisa é um limite ao grau dos polinômios (não ao tamanho dos coeficientes nem ao tamanho do circuito). Com um número muito pequeno de exceções, PIT normalmente significa a versão limitada ao grau (grau limitado por um polinômio no número de variáveis).

— Joshua Grochow

Pode ser uma coisa boba. Você mencionou a independência no tamanho dos coeficientes e no tamanho do circuito. Presumi que o tamanho depende do grau e tamanho do coeficiente. Estou errado?

O tamanho do circuito pode depender do tamanho do coeficiente., Dependendo do seu modelo (o modelo no qual ele depende geralmente é chamado de "sem constante"). O tamanho do circuito depende apenas muito pouco do grau, no sentido de que o tamanho é pelo menos logarítmo do grau, mas, na verdade, o algoritmo de coRP que sai do SZDL é praticamente de grau. Nem depende das funções que são dadas como circuitos - apenas de alguma forma em que elas podem ser facilmente avaliadas ("caixa preta").

— Joshua Grochow

Obrigado. É um pouco preocupante que a des randomização possa ser feita sem perda de eficiência, mesmo que os coeficientes em si possam ser construtivamente complicados

Você está se perguntando sobre questões gerais aqui. Um número natural pode canonicamente ser representado em notação unária, mas essa representação é bastante ineficiente em termos de espaço. Você também pode representá-lo em notação binária, que é mais eficiente em termos de espaço, mas não é mais canônica, porque você também pode usar notação de inquilino ou notação decimal. Mas observe que a representação por circuitos não é significativamente menos eficiente que a notação binária; veja, por exemplo,

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

E observe que isso (...)*(1+1)pode ser substituído por x:=(...) in x+x, então você nem precisa de multiplicação para isso. Mas, como você tem multiplicação, pode representar números como eficientemente 1011^101101. Observe também que você pode adicionar, subtrair e multiplicar números com eficiência nessa representação. Mas essa representação não se limita a números; ela funciona exatamente da mesma maneira para funções polinomiais multivariadas. E para os polinômios, é até uma representação bastante natural, porque os polinômios são a álgebra livre para anéis comutativos e a representação como circuito pode ser usada para qualquer álgebra livre.

Mas vamos voltar aos números (naturais) por um momento, números como . NJ Wildberger escreveu alguns discursos ultrafinitistas, por exemplo, Teoria dos Conjuntos: Você Deveria Acreditar? . Na seção Mas e os números naturais? a existência de números como é admitida, porque você pode obviamente anotá-los. Mas a existência de quase todos os números naturais entre e $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ é negado, porque a maioria desses números conteria mais informações do que poderia ser representado pelo universo físico. A maior parte do discurso apenas me fez rir, mas esse ponto me fez pensar. Filósofos como Willard Van Orman Quine protestaram contra a alegação da existência de possíveis não-realizados, entre outros, porque esses levam a elementos desordenados que não podem ser considerados significativos como idênticos a si mesmos e distintos um do outro. Por isso, achei bastante razoável me perguntar sobre apresentações de números para as quais uma ainda realiza adição, subtração e multiplicação, e pelo menos de forma significativa determinar se dois números são distintos um do outro. A representação do circuito consegue isso ...

Voltar para polinômios e representações de circuitos de álgebras livres. Aqui estão algumas perguntas gerais:

Essa representação de uma álgebra livre sempre permite testes probabilísticos de identidade eficientes ou é limitada a anéis comutativos?
-> O teste de identidade é muitas vezes até indecidível: para , a rede modular livre gerada por elementos é infinita e, de fato, apresenta um problema indecidível de palavras (Freese, Herrmann). $n\geq 4$ $n$
Existe uma álgebra livre para a qual testes de identidade determinísticos eficientes invalidariam quaisquer conjecturas comumente consideradas, como P! = NP?
-> Sim, o teste de identidade da álgebra livre para anéis comutativos regulares é NP-completo. Não percebi isso por um longo tempo, veja abaixo ...
Um teste de identidade determinística eficiente para (= álgebra livre de anéis comutativos) invalidaria alguma conjectura interessante ? $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Estou me perguntando especialmente sobre a álgebra livre para anéis comutativos regulares aqui (ou seja, anéis com uma operação inversa generalizada), pois eles permitiriam representar números racionais e funções racionais. Observe que, se tivéssemos usado essa representação apenas para números, poderíamos ter nos perguntado se podemos testar eficientemente a < bessa representação. Essa pergunta não faz sentido para o anel comutativo livre, mas pode fazer sentido para polinômios, se os interpretarmos no contexto de anéis parcialmente ordenados livres. Mas um anel parcialmente ordenado é apenas uma estrutura relacional em vez de uma álgebra, então esse é um tipo diferente de pergunta ...

O lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui, pois é válido para campos gerais e e existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Bem, é verdade que o lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui e que existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema, mas esses dois fatos não estão diretamente relacionados. Lembre-se de que é fácil representar com eficiência polinômios como por um circuito. Portanto, se é o tamanho do circuito, é fácil obter magnitudes de coeficiente de ou . Dito isto, a identidade polinomial probabilístico testando ainda funciona sobre . O limite dos coeficientes é algo como $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ , e você só precisa adivinhar aleatoriamente um número primo que não divide simultaneamente todos os coeficientes. Existem números primos suficientes da ordem para fazer isso de maneira probabilística eficiente. $O(\log B)$

Eu consideraria bastante surpreendente se PIT acima de pudesse ser derandomizado. Mas uma surpresa semelhante aconteceu comigo antes, quando o teste de primalidade foi des randomizado. $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Por outro lado, também acredito que você pode usar qualquer gerador de números pseudoaleatórios razoável e, assim, decidir o PIT para todos os fins práticos, se você apenas testar o tempo suficiente. Eu só acredito que você nunca pode se livrar da dúvida restante (pequena infinitesimal), semelhante aos conjuntos de medidas zero, que permanecem irritantes por não estarem vazios.

— Thomas Klimpel
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você quer dizer ?

P! = N P

$P!=NP$

Estou pensando em um problema de álgebra grátis mas não o que você está pensando em