Razborov provou que a função monótona não está em mP . Mas podemos calcular a correspondência usando um circuito de tamanho polinomial com algumas negações? Existe um circuito P / poli com negações que calcula a correspondência? Qual é o compromisso entre o número de negações e o tamanho da correspondência?$O(n^\epsilon)$

Markov provou que qualquer função de entradas pode ser calculada com apenas . Uma versão construtiva eficiente foi descrita por Fisher. Veja também uma exposição do resultado do blog da GLL .$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Mais precisamente:

Teorema: Suponha que é calculado por um circuito com portas , então também é calculado por um circuito com portões e negações.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

A idéia principal é adicionar para cada fio em um fio paralelo em que sempre carrega o complemento de . O caso base é para os fios de entrada: Fisher descreve como construir um circuito de inversão com portas e somente negações de . Para as portas AND do circuito , podemos aumentar com , e da mesma forma para as portas OR. NÃO os portões em não custam nada, apenas trocamos os papéis de e$w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$a jusante do portão NOT. Desta forma, todo o circuito além do subcircuito do inversor é monótono.

AA Markov. Sobre a complexidade de inversão de um sistema de funções. J. ACM , 5 (4): 331-334, 1958.

MJ Fischer. A complexidade das redes limitadas por negação - Uma breve pesquisa. Em Teoria dos Autômatos e Línguas Formais , 71–82, 1975

Como calcular a inversão de bits usando n negações$2^n-1$$n$

Deixe os bits serem classificados em ordem decrescente, ou seja, i < j implica x i ≥ x j . Isso pode ser alcançado por uma rede de classificação monótona como a rede de classificação Ajtai – Komlós – Szemerédi.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Definimos o circuito de inversão para bits I n ( → x ) indutivamente: Para o caso base, temos n = 1 e I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Seja m = 2 n - 1 . Reduzimos I n (para 2 m + 1 ) bits para uma porta I n - 1 (para $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$bits) e uma porta de negação usando portas e ∨ . Usamos a negação de computação ¬ x m . Para i < m deixar y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Usamos I n - 1 para inverter → y . Agora podemos definir I n da seguinte maneira:$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

É fácil verificar isso invertendo considerando os possíveis valores de x n e usando o fato de → x estar diminuindo.$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

De Michael J. Fischer, A complexidade das redes limitadas por negação - uma breve pesquisa, 1975.