Qual é a classe de complexidade “menor” para a qual um

Creio que as respostas a essa pergunta dão classes de tal forma que, para todos os polinômios , existe um problema na classe que não possui circuitos de tamanho . No entanto, estou perguntando sobre o tamanho do circuito $p$
$p(n)$
. $\omega \hspace{.02 in}(n)$

$\big(\hspace{-0.07 in}\left\langle \hspace{-0.04 in}0^{\hspace{.02 in}0}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.04 in}1^{\hspace{-0.03 in}1}\hspace{-0.03 in},2^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}3^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}4^4\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}5^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}6^{\hspace{.03 in}6}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}7^1\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}8^8\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}9^1\hspace{-0.03 in},...\hspace{-0.05 in}\right\rangle \:$ é super-linear, mas não . Embora esse comportamento par-ímpar possa ser tratado com preenchimento, pode-se ter faixas extremamente longas de valores super-polinomiais entre valores baixos.) $\omega \hspace{.02 in}(n)$

circuit-complexity lower-bounds

— Comunidade
fonte

Penso que limites inferiores super-lineares significam que há um limite inferior em

ω (n)

$\omega(n)$

— Kaveh

Não acho que chamamos isso de função superlinear. Tanto quanto eu sei o que as pessoas querem dizer com superlinear é

da mesma maneira que sublinear é

. Você tem alguma referência para o uso de superlinear no seu sentido? Sua sequência é infinitamente muitas vezes super-linear, mas não é super-linear.

ω (n)

$\omega(n)$

o (n)

$o(n)$

— Kaveh 25/09

Eu acredito que o uso padrão é que "tamanho do circuito superlinear" significa que ele não possui circuitos do tamanho

, ou seja, infinitamente. Os limites inferiores de "quase todos os lugares" são muito mais raros e muito mais difíceis de alcançar.

O (n)

$O(n)$

— Joshua Grochow 25/09/2015

Veja a publicação no blog da Fortnow sobre a questão de qual é a definição correta da grande notação ômega.

— Robin Kothari

@ Kaveh: Desculpe, eu deveria ter sido mais específico. Eu quis dizer a afirmação de que "o problema X não tem circuitos de tamanho linear" é geralmente equivalente a dizer que "o problema X tem um limite inferior do tamanho de circuito super-linear " e acredito que ambos significam (e deveriam significar) o que eu disse nos meus comentários anteriores. A frase "o problema X tem circuitos de tamanho super-lineares" me parece estranha, porque "ter esses e outros circuitos" é um limite superior, mas "super-linear" é um limite inferior ...

— Joshua Grochow,

Respostas:

e são ambos conhecidos por não ter -circuitos para qualquer k fixa e não existe contenção conhecido entre eles. Detalhes no meupost. $S^p_2$ $PP$ $n^k$

Atualização: Como aponta Rickey Demer, esses resultados não fornecem necessariamente um idioma com um limite inferior para todos os em . Eu acho que o é provavelmente o mais conhecido. Como o possui conjuntos completos, você pode obter um limite para , mas eu não tenho uma prova completa. $n$ $S_2^p$ $\Delta^p_3$ $PP$ $n$

— Lance Fortnow
fonte

Como você ir de "não tem n

circuitos -Tamanho" a um

tamanho do circuito limite inferior?

^{k}

$^k$

ω (n)

$\omega(n)$

$\hspace{.84 in}$ Ver o topo desta página para uma sequência, que não tem limite superior polinomial mas não é

ω (n)

$\omega(n)$

$\hspace{.58 in}$

@ EmilJeřábek: Como você consegue isso para todos os

suficientemente grandes, e não apenas para infinitos

n

$n$

n

$n$

$\hspace{.08 in}$ (Isso seria necessário para obter "o tamanho do circuito é

" em vez de "o tamanho do circuito não é

ω (n)

$\omega(n)$

O (n)

$O(n)$

$\hspace{1.12 in}$

@ EmilJeřábek: Veja a minha resposta em meta.stackexchange.com/a/293100/232555 .

Você está certo, eu estava me concentrando na primeira parte da prova que estava faltando no blog e não percebi que havia um grande problema com a distinção entre casos. Portanto, de qualquer maneira, existe em

uma linguagem que precisa de circuitos de tamanho

para todos os

suficientemente grandes .

Δ_{3}^{P}

$\Delta^P_3$

\geq n^{k}

$\ge n^k$

n

$n$

— Emil Jerabek

Pode obter um limite inferior de quase todo lugar para

. Para cada

, seja

o conjunto de todos os circuitos de tamanho

. Para

, chame o oráculo uma vez para determinar o que a maioria dos circuitos em

responde na

ésima entrada de comprimento

e jogue fora de

todos os circuitos que dão essa resposta (isso pode ser codificado como uma restrição de polytime na próxima chamada da Oracle). Nossa função difícil produzirá o valor oposto no

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$

n

$n$

S

$S$

n \log n

$n\log n$

i = 1, \dots, n^{2}

$i=1,\ldots,n^2$

S

$S$

i

$i$

n

$n$

S

$S$

a entrada de comprimento

. Agora, dado um ae-lb para

, podemos elevá-lo para

i

$i$

n

$n$

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$

P P

$PP$

— Ryan Williams

Seja dMCSP a versão decisória do problema de tamanho mínimo de circuito
e deixe "[1]" indicar " apenas 1 consulta ".
A resposta à questão parece ser , Que na verdade é tal que, para cada número inteiro k positivo, que tem um $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$
$\omega \hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}n^k\hspace{-0.03 in}\big)$

$k$ $k$
$\ell$

$\ell$ $\ell^{\hspace{.03 in}2} \cdot \operatorname{polylog}(\ell)$
$\mathbf{NP}$ $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.03 in}\mathbf{NP}}\hspace{-0.03 in}\right)} = \Delta^p_3$

$\subseteq$ $\mathbf{NP}$
$\mathbf{NP}$
$\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$