Algoritmo de multiplicação de vetores matriciais usando um número mínimo de adições

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Considere o seguinte problema:

Dada uma matriz , queremos otimizar o número de adições no algoritmo de multiplicação para calcular . $M$ $v \mapsto Mv$

Acho esse problema interessante por causa de seus laços com a complexidade da multiplicação de matrizes (esse problema é uma versão restrita da multiplicação de matrizes).

O que se sabe sobre esse problema?

Existe algum resultado interessante relacionando esse problema com a complexidade do problema de multiplicação de matrizes?

A resposta para o problema parece envolver a localização de circuitos apenas com portas adicionais. E se permitirmos portões de subtração?

Estou procurando reduções entre esse problema e outros problemas.

Motivado por

— vzn
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M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$

ω (n)

$\omega(n)$

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Esse é essencialmente o problema que motivou Valiant a introduzir a rigidez da matriz na complexidade (tanto quanto eu entendo a história).

Um circuito linear é um circuito algébrico cujos únicos portões são portões de combinação linear de duas entradas. Toda transformação linear (matriz) pode ser calculada por um circuito linear de tamanho quadrático, e a questão é quando podemos fazer melhor. Sabe-se que para uma matriz aleatória não se pode fazer significativamente melhor.

Algumas matrizes - como a matriz de transformada de Fourier, uma matriz de classificação baixa ou uma matriz esparsa - podem ser realizadas significativamente melhor.

Uma matriz suficientemente rígida não pode ser calculada por circuitos lineares que são simultaneamente tamanho linear e profundidade de perfil (Valiant), mas até hoje não são conhecidas matrizes explícitas para as quais exista um limite inferior super-linear no tamanho de circuitos lineares.

Não me lembro de ver resultados dizendo que é difícil calcular o tamanho do menor circuito linear para uma determinada matriz, mas não me surpreenderia se fosse NP-difícil.

— Joshua Grochow
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É NP-difícil, consulte cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams

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$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Esses limites são todos essencialmente os melhores possíveis. Veja o capítulo 6.3. no livro de Chazelle .

— Sasho Nikolov
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