vs ?


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O problema central da teoria da complexidade é indiscutivelmente vs .PNP

Entretanto, como a natureza é quântica, parece mais natural considerar as classes (ou seja, problemas de decisão solucionáveis ​​por um computador quântico em tempo polinomial, com uma probabilidade de erro de no máximo 1/3 para todas as instâncias) e (o equivalente quântico de ) em vez.BQPQMANP

Minhas perguntas:

1) Uma solução para o problema vs daria uma solução para vs ?PNPBQPQMA

2) As três barreiras da relativização, provas naturais e algebrização também se aplicam ao problema vs ?BQPQMA

Respostas:


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1) Nenhuma implicação é conhecida em nenhuma direção. Sabemos que P = NP implica P = PH. Mas não sabemos se BQP e QMA estão em PH, então talvez P possa ser igual a NP, mas BQP e QMA ainda não entrariam em colapso. (Por outro lado, observe que QMA⊆PP⊆P #P , então certamente P = P #P implicaria BQP = QMA.) Mostrar que BQP = QMA implica que P = NP parece ainda mais desesperador no estado atual do conhecimento .

2) Absolutamente, todas as três barreiras se aplicam com força total ao BQP vs. QMA (e até ao problema "mais fácil" de provar P ≠ PSPACE). Primeiro, em relação a um oráculo PSPACE (ou mesmo a extensão de baixo grau de um oráculo PSPACE), temos

P = NP = BQP = QMA = PSPACE,

então certamente serão necessárias técnicas não relativizantes e não algebrizantes para separar qualquer uma dessas classes. Segundo, para obter uma barreira natural de provas para colocar coisas fora do BQP, tudo o que você precisa é de uma família de funções pseudo-aleatórias computável no BQP, que é um requisito formalmente mais fraco que uma família de funções pseudo-aleatórias computável em P.

Adendo: Deixe-me dizer algo sobre uma "metaquestação" que você não perguntou, mas deu a entender, por que as pessoas ainda se concentram em P vs. NP, mesmo que acreditemos que a Natureza é quântica. Pessoalmente, eu sempre vi P vs. NP como nada mais que o "carro-chefe" de um monte de questões de barreira na teoria da complexidade (P vs. PSPACE, P vs. BQP, NP vs. coNP, NP vs. BQP, existência de funções de mão única, etc), nenhumados quais sabemos responder, e todos relacionados no sentido de que qualquer avanço em um provavelmente levaria a outros (mesmo quando não temos implicações formais entre as perguntas, que em muitos casos Faz). P vs. NP não é inerentemente mais fundamental do que qualquer um dos outros - mas se tivermos que escolher uma pergunta para servir como filho da propaganda por complexidade, é uma ótima opção.


Olá Scott, muito obrigado por esta ótima resposta! E o seu adendo trata exatamente do que eu tinha em mente.
Anthony Leverrier

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Suponho que a importância de P vs. NP, como o principal problema da teoria da complexidade, indique algo sobre a história da teoria da computação. Depois dos lógicos, parece ter sido combinatorista que abordou o assunto com mais interesse. Talvez se a teoria da complexidade tivesse sido desenvolvida pelos teóricos dos operadores, o principal problema da "dureza" não seria a satisfação booleana, a coloração em 3 cores ou o problema do vendedor ambulante, mas o problema de determinar se uma soma de operadores semidefinidos positivos k-locais é definitivo positivo. (Que é k-QSAT, é claro.)
Niel de Beaudrap

Sim, acho que, desde que novas técnicas sejam necessárias para qualquer problema (P vs NP, BQP vs QMA, etc.), não custa demais se concentrar em um problema específico.
Anthony Leverrier

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Um comentário secundário - se você considerar a computação quântica como sua definição de computação viável, provavelmente consideraria BQP vs NP como a questão central, e não BQP vs QMA. O motivo é que o NP ainda captura uma grande fração das perguntas que queremos resolver (ou queremos permanecer difíceis para a criptografia), independentemente se tentarmos resolvê-las com um computador clássico ou quântico.
Boaz Barak

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@Boaz - Você acha que os problemas de PN são intrinsecamente mais relevantes que os problemas de QMA, ou que parece ser o caso no momento, porque estamos mais acostumados a pensar em termos de problemas clássicos do que os quânticos?
Anthony Leverrier
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