Problemas no tempo quase polinomial que poderiam estar em P (sem causar colapsos ou violar crenças amplamente defendidas)

Quais são alguns exemplos de problemas com o tempo de semi-polinomial ( ) algoritmos que poderia ser concebivelmente em P . Em outras palavras, eles estão no Q P por nenhuma razão óbvia, exceto que ninguém encontrou um algoritmo de tempo polinomial?$QP$$P$$QP$

Esta pergunta é motivada pelo resultado recente do isomorfismo do gráfico (que é uma resposta válida para esta pergunta)

Alguns não exemplos são

• Localizando um clique do tamanho em um gráfico$\log^{100} n$
• Localizando um caminho de tamanho em um gráfico$\log^{100} n$
• Resolvendo soma k para $k=\log^{100} n$
• Conjunto mínimo de domínio em um torneio

Qualquer um desses problemas em violaria a hipótese de tempo exponencial (ETH).$P$

Isomorfismo de grupo! Embora Ricky Demer tenha dado muitos detalhes (embora certamente não todos) sobre isso, há um ponto importante que quero destacar, esp. dada a motivação declarada para a pergunta, a saber:

Colocar o isomorfismo do grupo em é um obstáculo essencial para colocar o isomorfismo do gráfico em $\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

O isomorfismo de grupo (quando fornecido por tabelas de multiplicação) reduz-se ao isomorfismo de gráfico; portanto, o acima foi tecnicamente sempre verdadeiro. Mas quando o Graph Iso estava em estava tão longe do Grupo Iso2(logn)2que havia claramente outros obstáculos no caminho. Se Gráfico Iso é no tempo2(logn) S ( 1 ) , Grupo Isomorfismo é, em seguida, um obstáculo muito mais imediatamente relevante para colocar Gráfico Isomorfismo emP. Em particular, isso sugeriria que o algoritmo de Babai lida com grande parte [1] da combinatória de GI, e o problema agora está na álgebra rígida. (Não que não haja álgebra difícil no GI, mas o GroupIso épor definiçãosobre álgebra.)$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{(\log n)^2}$$2^{(\log n)^{O(1)}}$$\mathsf{P}$

$> 2$

$2\log_2 n$$\sqrt n$

O isomorfismo de grupo é outro problema conhecido decentemente, conhecido
por ser solucionável em tempo quase polinomial. Esse resultado pode ser generalizado
para outros finitos objetos que "estender" grupos em um sentido adequado -
[ semirings comutativos com a propriedade do produto de zero ] e comutativos grupóides
são ambos não perto o suficiente, mas [ q (1) tuplas -length de grupos com rótulos em algumas tuplas
de conjuntos de elementos de grupo (que não são necessariamente do mesmo grupo)], todos funcionam.
(Isso é bastante amplo, uma vez que as tuplas de singletons rotuladas permitem funções de codificação
e , em seguida, ter tuplas de grupos permite separarescalares e vetores .)

Para esta resposta, os grupos são dados pelas tabelas de Cayley . Lembre-se de que os problemas que vou
mencionar são apenas "realmente" conhecidos no SUBEXP quando [seus grupos subjacentes
não são necessariamente todos abelianos] ou [eles podem ter "uma quantidade suficientemente grande" de etiquetas que
não é englobado por [um número "pequeno" de [[subgrupos de somas diretas desses grupos] e / ou
[funções de e para tais subgrupos que distribuem sobre adição]]]], pois, caso contrário,
tudo poderia ser comprimido exponencialmente, expressando coisas em termos de geração de conjuntos,
nesse caso, fornecer tabelas completas seria essencialmente o preenchimento da entrada.

$\langle \hspace{-0.02 in}$A, B$\hspace{-0.02 in}\rangle$



$\cdot$

Além disso (ainda usando Reingold), máquinas LOGSPACE pode computar tais morphisms dado
acesso 2-way para essas testemunhas, e se eles também têm acesso 2-way para uma cassete aleatória,
em seguida, eles podem dar [[a [prova de conhecimentos com em relação a um extrator que tenha acesso de leitura bidirecional
ao que já foi produzido] de uma testemunha de isomorfismo] com as mesmas propriedades
do ZK P oK usual para isomorfismo de gráfico] a um verificador de espaço de logs com acesso de leitura bidirecional à
sua própria aleatoriedade e às mensagens do provador. Da mesma forma, o sistema de prova HVSZK para
não isomorfismo de gráfico transporta essencialmente inalterado para objetos do tipo deste parágrafo.

$\cdot \hspace{-0.02 in}\lceil \hspace{-0.03 in}$log ₂ (cardinalidade_do_grupo)$\hspace{-0.02 in}\rceil$

Como conseqüência, obtém-se coisas que variam do simples
" estado " isomorfismo do subgrupo "ao moderado" número mínimo de elementos que podem
ser combinados com um determinado subconjunto de um grupo abeliano para gerar todo o grupo ",
ao intencionalmente complicada-a-estado
"Dado um domínio cujo escalares só precisa formar uma r$\hspace{.02 in}$ng e um codomain com
adição de "vetor" não necessariamente comutativa, existem mais de três homomorfismos de álgebra, de modo que o mapa nos escalares não é o zero r$\hspace{.02 in}$ng morfismo e o mapa em "vetores" é injetivo? "
estão todos no GC$\hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.03 in}$espaço de registro$\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.02 in}$e, portanto, em particular solucionável em tempo quase-polinomial.


Além do fato de que [ desde 2011 , um trabalho significativo sobre o problema "apenas" reduziu pela metade o expoente do tempo de execução para grupos gerais e esquartejou o expoente do tempo de execução para grupos solucionáveis ],
não tenho conhecimento de nenhuma evidência de que tais problemas não devam estar presentes. P.


Evidências de que os problemas são sobre esta resposta "não são tão difíceis":

Eu já mencionei o sistema de prova ZKPoK e HVSZK.
Sempre que houver objetos não isomórficos "não muitos", [fornecer ao verificador uma sequência de conselhos "não muito longa" e permitir que as provas contenham um ponteiro para os locais nele]) é suficiente para
verificar adicionalmente os complementos do tipo de problema resposta foi sobre antes desta frase.
(O ponteiro é para o local em que a cadeia de orientação fornece [2 objetos de referência aos
quais os objetos de entrada são isomórficos] e as respostas para eles.)
Por essa resposta, o número de grupos não isomórficos está associado (que eu não sei como provar), sempre que as tuplas rotuladas forem englobadas pela combinação de
$\:\: \big[\hspace{-0.02 in}$
$\big[\hspace{-0.02 in}$$O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\big]\big]\hspace{-0.02 in}$
$n^{O\left((\log(n))^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}\right)}$

$O\big(\hspace{-0.03 in}$log ⁶ n$\hspace{-0.03 in}\big)$$O\big(\hspace{-0.03 in}$log ² n$\hspace{-0.03 in}\big)$

$O(\log^3 k)$$O(i^2 k^{1/i})$$n^{O(i)}$

Relacionado a esse problema está o problema da Orientação Submodular e seus casos especiais. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1530718&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1530718

$\mathcal{H}:=(V,{\cal E}\subseteq 2^V)$${\cal H}$$V$${\cal E}$

${\cal H}$${\cal T}$

${\cal T}$${\cal H}$

O algoritmo mais conhecido é um algoritmo de tempo quase polinomial (o primeiro é o de Fredman e Khachiyan http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0062

O problema é conhecido como Dualidade booleana monótona ou Dualidade hipergráfica e vários problemas de enumeração são redutíveis a esse problema ou equivalentes a ele (por exemplo, a enumeração de conjuntos dominantes mínimos é equivalente a esse problema). Acredita-se realmente estar em P.