Problemas quase completos de NP

Digamos que uma linguagem $L$ seja P -densidade perto se houver um algoritmo de tempo polinomial que decida corretamente $L$ em quase todas as entradas.

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

Observe que não precisa ser esparso. Por exemplo, se tiver bits, ainda estará desaparecendo (a uma taxa exponencial), já que . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

Não é difícil (artificialmente) construir problemas completos de NP com fechamento de densidade P , de acordo com a definição acima. Por exemplo, seja qualquer idioma completo de NP e defina . Então mantém a complexidade NP , mas tem no máximo bits sim instâncias. Portanto, o algoritmo trivial que responde "não" a todas as entradas decide corretamente em quase todas as entradas; ele irá errar apenas em uma fração das entradas de bits. $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

Por outro lado, seria muito surpreendente se todos os problemas completos de NP estivessem próximos à densidade de P. Isso significaria que, de certa forma, todos os problemas completos de NP são quase fáceis. Isso motiva a pergunta:

Supondo P NP , quais são alguns problemas naturais completos de NP que não são próximos à densidade de P ? $\neq$

— Andras Farago
fonte

Desde heurística não está descartada, não há sequer um problema não-necessariamente-natural para que P ≠ NP é conhecido implicar que o problema não é quase em P.

Eu acredito que os problemas pós-correspondência são um bom problema de candidato. É difícil mesmo para instâncias uniformemente aleatórias e, portanto, é difícil no caso médio.

— Mohammad Al-Turkistany

FYI: Sua escolha de nomenclatura, embora natural, entra em conflito com alguma nomenclatura existente: A classe Quase-P consiste naquelas linguagens L tais que têm a medida 1. Você também pode estar interessado em saiba que a versão esparsa de sua definição já foi usada e tem conexões com várias outras idéias, consulte P-close . Dado o valor de P-close, talvez um bom nome para o seu conceito seja P-density-close, ou P-close-enough :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

Por outro lado, o problema de decisão " Graph Coloration " é presumivelmente um candidato para esse problema.

$\;$

Não estou convencido de que essa seja a definição correta. Se a densidade de desaparece, é "quase fácil" através de qualquer linguagem trivial , por mais difícil que seja. No entanto, é difícil exibir idiomas rígidos naturais sobre o alfabeto com densidade que não desaparece, simplesmente por causa da codificação. A interseção não deve ter o tamanho entradas válidas (portanto, este é um problema de promessa), e não todas as seqüências de caracteres? Caso contrário, isso exige principalmente responder à pergunta: existe uma codificação booleana de alguma linguagem NP-hard com densidade que não desaparece?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

Examinei se existe uma hipótese geralmente aceita na teoria da complexidade, o que implica que deve existir uma linguagem completa NP que não possa ser aceita em tempo polinomial em quase todas as entradas (conforme definido na pergunta).

Curiosamente, as hipóteses mais "padrão" não parecem implicar isso. Ou seja, ele não parece seguir (a menos que eu tenha esquecido alguma coisa) de P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poli, PH não diminui, etc. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

Por outro lado, encontrei uma hipótese, um pouco menos padrão, que implica a existência do problema completo de NP procurado , embora não seja natural. Na teoria da medida limitada a recursos, a hipótese fundamental é que NP não possui medida zero, denotada por NP . Informalmente, isso significa que os idiomas NP em E não formam um subconjunto desprezível. Para detalhes, consulte uma pesquisa aqui . Nesta teoria, eles provam, entre muitas outras coisas, que NP implica a existência de um P $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ linguagem imuno-imune em PN . Uma linguagem é P -bi-imune se nem nem seu complemento tem um subconjunto infinito em P . Essa linguagem satisfaz nossos requisitos de maneira forte. $L$ $L$

No entanto, ainda não está claro se existe um exemplo que represente um problema natural .

— Andras Farago
fonte

Bi-imunidade também é muito mais forte do que a sua condição, e está relacionado com o uso mais comum de "quase todos" em teoria da complexidade estrutural, ou seja, "para todos, mas finita muitos" ...

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow Eu concordo, mas parece que, em certo sentido, a imunidade à P-bi significa intratabilidade muito forte . Parece não ocorrer entre problemas naturais de NP completos. Surpreende-me que, aparentemente, não haja resultado que forneça condições apenas para a existência de uma linguagem NP completa, intratável, "fracamente quase em todo lugar". Por "fracamente quase em todo lugar", quero dizer que a condição "quase todos" é substituída por "quase todos". Isso pode se relacionar melhor com o que é realmente encontrado na prática.

— Andras Farago

Sabe-se que NP é mensurável por p?

@RickyDemer Até onde eu sei, não se sabe se NP é mensurável por p.

— Andras Farago