Conjectura: Todos os idiomas completos do FPT NP são isomorphic de parâmetro fixo

Conjectura de Berman-Hartman: todas as linguagens completas de NP são parecidas, no sentido de que podem ser relacionadas entre si por isomorfismos polinomiais no tempo [1].

Estou interessado em uma versão mais refinada do "tempo polinomial", isto é, se usarmos reduções parametrizadas.

Um problema com parâmetros é um subconjunto de , onde é um alfabeto finito e é o conjunto de números não negativos. Uma instância de um problema parametrizado é, portanto, um par , onde é o parâmetro. $Σ^∗ × Z \geq 0$ $Σ$ $Z\geq 0$ $(I, k)$ $k$

Um problema com parâmetros é fixa-parâmetro redutível a um problema parametrizada se existem funções , : , e um polinómio tal que, para qualquer instância de , $π_1$ $π_2$ $f$ $g$ $Z≥0 → Z≥0$ $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ $p(·)$ $(I, k)$ $π_1$ é um exemplo de calculável no tempo e , se e somente se $(Φ(I, k), g(k))$ $π_2$ $f(k) · p(|I|)$ $(I, k) ∈ π_1$ $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . Dois problemas parametrizados são equivalentes em parâmetros fixos se forem redutíveis em parâmetros fixos.

Alguns problemas de NP-completos são FPT, por exemplo, a versão de decisão do problema de cobertura de vértices é NP-Completa, possui um algoritmo [2]. Encontrar melhores reduções de parâmetro fixo de um problema de FPT que é NP-Complete pode levar a um algoritmo melhor, por exemplo, invocando uma redução para uma "versão acima da garantia" do problema Multiway Cut pode levar a um algoritmo no tempo para o problema AGVC (Acima da garantia do vértice) [3], melhor que o algoritmo [4]. $O(1.2738^k + kn)$ $O^*(4^k)$ $O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Essa conjectura é verdadeira?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), "Sobre isomorfismos e densidade de NP e outros conjuntos completos", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj e G. Xia, limites superiores aprimorados para cobertura de vértices, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), pp. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk e JO Wojtaszczyk, No corte de várias vias parametrizado acima dos limites inferiores, no IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan e V. Raman, Parametrizando acima dos valores garantidos: Maxsat e maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

complexity-classes np-complete fixed-parameter-tractable

— Rupei Xu
fonte

Não entendo o que você quer dizer com "linguagem completa do FPT NP". Não há noção natural de uma língua sendo ela própria FPT; a questão é se um par de idioma / parâmetro é FPT.

— Huck Bennett #

Observe que uma redução de parâmetro fixo pode apenas resolver um problema de FPT e gerar uma instância trivial Sim / Não do problema de destino.

— Serge Gaspers

Serge Gaspers já mencionou por que sua conjectura é trivialmente verdadeira.
No entanto, é possível obter isomorfismos de parâmetros fixos em tempo polinomial ,
que agora percebo que não são muito menos triviais, uma vez que se aplicam a todos os
pares ordenados de problemas não triviais de FPT com uma redução no sentido comum.

$c$ $\pi_1$
$Y$ $N$ $\pi_2$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\pi_1$ $n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$ $N$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\:$ $c$ $\pi_1$ $k$ $n$ $n^{\hspace{.02 in}c}$ $\:$ $k$ $\:$ Portanto, ele satisfaz sua condição de parâmetro fixo.