Superconjunto de tempo poli do idioma completo do NP com infinitas seqüências de caracteres excluídas

Para qualquer linguagem arbitrária completa do NP, há sempre um superconjunto polytime cujo complemento também é infinito?

Uma versão trivial que não estipula que o superconjunto tenha um complemento infinito foi solicitada em /cs//q/50123/42961

Para os fins desta questão, você pode assumir que $P \ne NP$ . Como Vor explicou, se $P = NP$ , a resposta é "Não". (Se $P = NP$ , então $X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$ é NP-completo. Claramente, não há um superconjunto de $X$ que seja infinito e tenha um complemento infinito, pois o complemento de $X$ tem apenas um único elemento.) Assim, pode concentrar-se no caso $P \ne NP$ .

cc.complexity-theory np-complete structural-complexity

— ARi
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está NP-completo. Claramente, não existe um superconjunto de

que seja infinito e tenha um complemento infinito (observe que

). Assim, você pode "concentrar-se" sobre o que acontece se

P = N P

$P = NP$

X = {x ∣ x \in N^{+} \land x > 1}

$X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$

X

$X$

\bar{X} = {1}

$\bar{X} = \{1\}$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marzio De Biasi

Como sobre a versão relativizada: Existe um oráculo

st todos os co-NP

conjuntos são P

imune a.

A

$A$

^{A}

$^A$

^{A}

$^A$

— precisa

@LanceFortnow ... ou para qualquer idioma completo em particular. Classe de complexidade, sempre existe um superconjunto não trivial de menor complexidade.

— ARi

Respostas:

Cada conjunto -completo contém um subconjunto infinito em assumindo que $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

existem geradores pseudo-aleatórios e
existem permutações unidirecionais seguras.

Em outras palavras, admitindo que estes dois pressupostos forem verdadeiras, não conjunto -completo é P- imune . Conforme apontado nos comentários de Lance, isso está implícito no Teorema 4.4 de $\mathsf{coNP}$

Glasser, Pavan, Selman e Sengupta, " Propriedades de conjuntos NP-completos ", SIAM J. Comput. 36 (2), 516-542.

(Kaveh já mostrou que sua pergunta é equivalente a se todos os conjuntos -Complete contém um infinito subconjunto. Em outra língua, este está dizendo que nenhuma -completo conjunto é " imune a." Este é a linguagem usada no teorema mencionado acima.) $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
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Rascunho da ECCC

— Kaveh

Por fortes funções de núcleo duro (e iteração ), permutações unidirecionais implicam geradores pseudo-aleatórios.

@RickyDemer: Veja as Definições 4.1-4.3 no documento citado. Se estou entendendo corretamente, os OWPs implicam o que chamam de "PRGs de criptografia", mas não necessariamente o que chamam de "PRGs" no documento Glasser-Pavan-Selman-Sengupta. Para o resultado, eles (parecem) precisam dos OWPs e do que chamam de PRGs.

— Joshua Grochow

Kaveh mostrou apenas que a equivalência entre conjuntos completos co-NP é imune a P, mas a conclusão do teorema 4.4 em Glasser et al. conjuntos imunológicos P completos.

— precisa

@ JoshuaGrochow Obrigado ... mas existem suposições que podemos fazer que, por sua vez, implicam na inexistência de tal linguagem. Eu estava mais interessado em cenários onde não há super tempo poli

— ARi

Pergunta interessante. A declaração

para todo NP completo , há em P, de modo que e são infinitos. $L$ $U$ $L \subseteq U$ $U^c$

é equivalente a:

para cada NP completo , o complemento de contém um conjunto P infinito. $L$ $L$

que por sua vez é equivalente a

todo conjunto coNP completo contém um conjunto P infinito.

~~que é por simetria o mesmo que~~

~~todo conjunto NP completo contém um conjunto P infinito.~~

Eu não acho que a resposta seja conhecida. Acho que conjuntos NP-completos naturais atendem facilmente a essa condição. Acho que não temos ferramentas para construir um conjunto artificial que falha na declaração. (veja o comentário de Lance abaixo)

— Kaveh
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Sua afirmação inicial é trivialmente verdadeira. (Let L ser a língua cheia.)

É uma cadeia interessante de deduções ... Você poderia dar um exemplo de uma linguagem completa do NP natural a esse respeito

— ARi

A simetria não faz sentido. Por exemplo, todo conjunto de ce tem um subconjunto computável infinito, mas existem co-conjuntos que não.

— Lance Fortnow