Complexidade da contagem de correspondências em um gráfico bipartido

Talvez esteja faltando algo óbvio, mas não consigo encontrar referências sobre a complexidade da contagem de correspondências (não correspondências perfeitas) em gráficos bipartidos. Aqui está o problema formal:

Entrada: um gráfico bipartido com $G = (U, V, E)$ $E \subseteq U \times V$
Saída: o número de coincidências de , em que um emparelhamentos é um subconjunto de tal modo que não há nenhuma que ocorre em duas arestas de . $G$ $F \subseteq E$ $v \in U \sqcup V$ $F$

Qual é a complexidade desse problema? É # P-difícil?

É bem sabido que contar correspondências perfeitas em gráficos bipartidos é difícil de P, e sabe-se que contar contagens de gráficos arbitrários (ou mesmo gráficos regulares regulares 3) é difícil de P neste artigo , mas eu não não encontre nada sobre a contagem de combinações não perfeitas em gráficos bipartidos.

counting-complexity matching bipartite-graphs

— a3nm
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Parece haver um problema neste algoritmo, existem casos no resultado em que nem todos os nós do lado esquerdo ou direito estão incluídos na solução 2sat, portanto, o algoritmo de contagem exato não funciona. Alguém conhece um algoritmo para soluções únicas de correspondência bipartida máxima derivadas usando uma redução para 2sat?

— user3700810

Respostas:

O problema de contar essas correspondências "imperfeitas" em gráficos bipartidos é # P-complete.
Isso foi comprovado pelo próprio Les Valiant, na página 415 do artigo

Leslie G. Valiant
A complexidade dos problemas de enumeração e confiabilidade
SIAM J. Comput., 8 (3), 410-421

— Gamow
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Parece bom, obrigado! Não sei por que esse simples fato não foi afirmado claramente na página da Wikipedia (ou em qualquer outro lugar da Web). Eu melhorei a Wikipedia de acordo: en.wikipedia.org/w/… Obrigado novamente!

— a3nm

Uma semana na minha aula de teoria da complexidade na faculdade, nosso único problema de lição de casa era provar que o # 2-SAT estava # P-completo, reduzindo de #BIPARTITE PERFECT MATCHING. Ninguém poderia resolvê-lo, mesmo quando todos nós finalmente nos unimos para trabalhar nisso.

Na aula seguinte, o professor ficou surpreso com a dificuldade que todos havíamos achado e apresentou sua prova. Estava errado. Felizmente, um cookie inteligente foi capaz de dar a redução correta, o que era absolutamente insano e nojento e complicado. A propósito, o professor tem um Prêmio Turing :)

De qualquer forma, enquanto eu e meus colegas de classe não conseguimos resolver esse problema, fomos capazes de resolver o problema mais fácil de reduzir de #BIPARTITE MATCHING para # 2-SAT, então aqui está a prova de que eu vim alguns anos atrás.

Teorema. # HARMONIZAÇÃO # 2-SAT. $≤_p$

Prova . Seja uma instância de #BIPARTITE MATCHING. Deixe os conjuntos de partições serem (então e ) . $G = (V,E)$

A = {a_{i} ∣ i \in [n]}, B = {b_{i} ∣ i \in [m]}

$A = \{a_i \mid i∈[n]\}, \quad B = \{b_i \mid i∈[m]\}$

| A | = n

$|A|=n$

| B | = m

$|B|=m$

Agora reduzimos a uma fórmula 2SAT , de modo que cada atribuição satisfatória de corresponda a e vice-versa. Para começar, para cada aresta crie uma variável . A ideia é que definir a variável como TRUE corresponda à borda está na correspondência. Para cada vértice , crie as expressões 2SAT Para que seja satisfeito, todos, exceto no máximo um de , devem ser falsos. Para ver isso, assuma que $G$ $φ$ $φ$ $G$ $a_ib_j ∈ E$ $x_{ij}$ $x_{ij}$ $a_ib_j$ $i$

A_{i} = \underset{j < k}{⋀} (\neg x_{i j} \lor \neg x_{i k}), B_{i} := \underset{j < k}{⋀} (\neg x_{j i} \lor \neg x_{k i})

$A_i = \bigwedge_{j < k} (¬x_{ij} ∨ ¬x_{ik}), \quad B_i := \bigwedge_{j<k} (¬x_{ji} ∨ ¬x_{ki})$

A_{i}

$A_i$

x_{i j}

$x_{ij}$

x_{i j}

$x_{ij}$ e são verdadeiros. Então é falso, assim como . O mesmo vale para . Deixando , temos que é satisfeito se e somente se cada vértice em for incidente em no máximo uma aresta que escolhemos e, portanto, as arestas formam uma correspondência.

x_{i k}

$x_{ik}$

(\neg x_{i j} \lor \neg x_{i k})

$(¬x_{ij} ∨ ¬x_{ik})$

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$

C = ⋀_{i = 1}^{n} A_{i} \land ⋀_{i = 1}^{m} B_{i}

$C = \bigwedge_{i=1}^n A_i ∧ \bigwedge_{i=1}^m B_i$

C

$C$

G

$G$

— Gardenhead
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Acho que devo estar faltando alguma coisa aqui. Isso parece mostrar que uma instância arbitrária de #BIPARTITE_MATCHING pode ser codificada como uma instância de # 2-SAT. Mas eu esperava que você tentasse mostrar que uma instância arbitrária de # 2-SAT pode ser codificada como uma instância de #BIPARTITE_MATCHING, não?

— Mhum

Opa, você está certo. Isso foi retirado de um antigo problema de lição de casa e eu realmente não tinha a pergunta escrita, apenas a minha resposta. O problema deve ter sido mostrar que # 2-SAT era # P-Complete, sabendo que # BIPARTITE-PERFECT-MATCHING estava # P-complete. Eu vou editar.

— gardenhead

@ Gardenhead: Obrigado pela sua resposta! Isso é interessante, mas eu não acho que isso esteja muito relacionado à minha pergunta, é? Isso mostra apenas que # BIPARTITE-MATCHING está em # P, o que não é uma surpresa.

— a3nm

A redução nesta resposta parece estar correta, embora pareça não ter relação com a pergunta. No entanto, eu não entendo o comentário de @a3nm, nem sigo a história no prefácio da resposta (que atrapalha três reduções diferentes).

— András Salamon

Eu descobri como reduzir # MONO-2SAT para #BIPARTITE PERFECT MATCHING, mas a prova não é assim tão simples: P.