Polinômios explícitos em 1 variável com limites inferiores da complexidade do circuito superlogarítmico?


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Contando argumentos, pode-se mostrar que existem polinômios de grau n em 1 variável (isto é, algo da forma que possui complexidade de circuito n. Além disso, pode-se mostrar que um polinômio como x n requer pelo menos log 2 n multiplicações (você precisa disso apenas para obter um grau alto o suficiente). Existem exemplos explícitos de polinômios em 1 variável com um limite inferior superlogarítmico na complexidade? (resultados em qualquer campo seriam interessantes)anxn+an1xn1++a0)xnlog2n


Os exemplos que você tem em mente com a complexidade do circuito sobre um campo finito? Não vejo como um argumento de contagem funcionaria sobre um campo infinito, e sobre os racionais tenho certeza de que √ de Paterson-Stockmeyern bound é apertado (veja também minha resposta abaixo). n
Joshua Grochow

O limite sqrt (n) que você mencionou é apenas um limite superior no número de multiplicações (em qualquer campo), mas se contarmos tanto as adições quanto as multiplicações como operações, precisaremos de n operações em um campo infinito para quase todos os polinômios, apenas porque há n coeficientes distintos no polinômio e não há como avaliar todos os polinômios possíveis com menos de n operações (não tenho certeza se isso deve ser chamado de argumento de contagem ou não).
Matt Hastings

aixixaiai

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O que quero dizer é: o circuito consiste em portas de adição e multiplicação. As entradas para um determinado portão podem ser saídas de portas anteriores, ou x, ou algumas constantes. A questão é: para um determinado polinômio, podemos encontrar um circuito e uma escolha de constantes nesse circuito para computá-lo? Porém, temos um espaço (n + 1) tridimensional de polinômios, mas se fixarmos a estrutura de um circuito com menos de n portas (por "estrutura", quero dizer quais portas usam saídas das quais outras portas) e consideramos tudo opções possíveis de constantes, isso fornece menos que um espaço n dimensional de polinômios que podem ser computados.
matt hastings

Btw - a impressão que tenho é que a construção de exemplos explícitos sobre R ou C sem restrições adicionais aos coeficientes é resolvida principalmente. Por outro lado, construindo exemplos explícitos em que todos os coeficientes a_i são números inteiros e não crescem muito rapidamente, ele ainda está aberto? Há um exemplo com todas as constantes inteiras na pesquisa mencionada, mas elas crescem duplamente exponencialmente.
matt hastings

Respostas:


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n(a1,,an)i=1n(xai)Ω(n)

ni=1n22ixii=1ne2πi/2ixii=1nirxir


Obrigado. Portanto, parece que o problema aberto é que, se você contar as adições também como operações, será possível construir um polinômio que precise de mais do que operações sqrt (n), com o objetivo de construir um que precise de n operações. Algum resultado para isso? (I dúvidas, porque o método em que necessita apenas de sqrt (n) multiplicações, as adições dar alguns multiplicação de matrizes e isto provavelmente reduz a diminuir limites da complexidade de uma multiplicação de matrizes-escalar)
mate Hastings
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