Os circuitos aritméticos são mais fracos que os booleanos?

Seja o tamanho mínimo de um circuito aritmético (não monótono) que computa um dado polinômio multilinear $A(f)$ $(+,\times,-)$ e denotam o tamanho mínimo de umcircuitobooleano(não monótono) que computa aversão booleana de definida por:

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

Os polinômios conhecidos por qual é menor que ? $f$ $B(f)$ $A(f)$

$(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

NOTA (2016/03/15) Na minha pergunta, eu não especificou como grandes coeficientes

são permitidos. Igor Sergeev lembrado me que, por exemplo, o seguinte (univariada) polinomial

tem

(Strassen e pessoas do seu grupo). Mas

para este polinômio, uma vez que

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

. Podemos obter do fron

ummultivariadapolinomial

variáveis utilizando utilizando a substituição de Kronecker. Associe-se a todo expoente

a monomial

, onde

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ são os coeficientes 0-1 da representação binária de

. Em seguida, o polinómio é desejada

, e temos que

Mas a versão booleana de

é apenas um OR de variáveis, então

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

, e temos uma diferença exponencial uniforme. Assim, se a magnitude dos coeficientes puder ser triplo-exponencial no número

de variáveis, o intervalo

podeser mostrado como exponencial. (Na verdade, não a magnitude em si - mais a dependência algébrica dos coeficientes.) É por isso que o verdadeiro problema com

é o caso depequenoscoeficientes (idealmente, apenas 0-1). Mas neste caso, como Josué lembrou, o limite inferior

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$

de Strassen e Baur (com coeficientes 0-1) continua sendo o melhor que temos hoje.

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— Stasys
fonte

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— Joshua Grochow
fonte

Oi Joshua: você está certo, permanente é um exemplo (embora condicional)! Bem, não conhecemos nenhum limite inferior em A (f) para permanente. Mas se as versões livres de constante do VP e VNP diferem, então conhecemos a separação B (f) vs. A (f) sem conhecer um limite (real).

— Stasys

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

em Josué: certo, bom argumento novamente. Se f é a soma das n-ésimas potências de todas as n variáveis únicas, então B (f) é no máximo n, e Baur-Strassen mostra que A (f) é pelo menos n vezes logaritmo de n. Este é o mais conhecido por A (f). Portanto, a maior lacuna explícita conhecida para minha pergunta é de fato apenas logarítmica. (A questão de lado: você sabe por que o meu @ sempre desaparece nos comentários?)

— Stasys

@Stasys: Bom exemplo. (Re: aparte. Eu não. Acho que o sistema faz alguma inferência automática de quem as coisas são "respondidas" e, se você estiver direcionando uma mensagem para a "pessoa padrão", ela será removida. .)

— Joshua Grochow 14/03

Certo. O autor de uma postagem é sempre notificado sobre novos comentários, portanto, o sistema remove a notificação @ explícita como redundante.

— Emil Jeřábek 3,0