Problemas com Agoritmos de Tempo Exponencial Único Desconhecido

Estou procurando exemplos de problemas para os quais é fácil obter algoritmos em execução no tempo ou 2 O ( n c ) para alguns c > 1, mas para os quais não se sabe se existe um algoritmo em execução no tempo 2 O ( n ) .$2^{O(n\log n)}$$2^{O(n^c)}$$c>1$$2^{O(n)}$

Estou interessado principalmente em problemas teóricos dos grafos, mas outros bons exemplos também seriam bem-vindos.

Por exemplo, é trivial desenvolver um algoritmo executando no tempo para o problema do caminho hamiltoniano. Apenas teste todas as permutações. Usando programação dinâmica, no entanto, é possível atingir o tempo 2 O ( n ) . Existem outros problemas de conectividade natural ou variações do problema do caminho hamiltoniano para os quais nenhum algoritmo em execução no tempo 2 O ( n ) é conhecido?$O(n!) = 2^{O(n\log n)}$$2^{O(n)}$$2^{O(n)}$

No problema do homomorfismo do gráfico , a entrada são dois gráficos e H e a questão é se existe um mapeamento h dos vértices de G para os vértices de H, de modo que, para cada aresta u v ∈ E ( G ) , tenhamos h ( u ) h ( v ) ∈ E ( H ) .$G$$H$$h$$G$$H$$uv\in E(G)$$h(u) h(v)\in E(H)$

O problema pode ser resolvido no tempo através de um algoritmo de força bruta (os ó * notação Q couros factores polinomial no tamanho da entrada).$O^*(|V(H)|^{|V(G)})$$O^*$

No entanto, está aberto se ele pode ser resolvido no tempo , e isso aparece como uma pergunta em aberto no$O^*(c^{|V(H)|+|V(G)|})$

• Fedor V. Fomin, Pinar Heggernes, Dieter Kratsch: Algoritmos Exatos para Homomorfismos de Gráficos . Teoria Comput. Syst. 41 (2): 381-393 (2007)

Isomorfismo Permutacional de Grupos de Permutação, também conhecido como Conjugação de Grupos de Permutação:

Entrada: Duas listas de permutações em , digamos ( π 1 , … , π k ) e ( ρ 1 , … , ρ ℓ$S_n$$(\pi_1, \dotsc, \pi_k)$$(\rho_1, \dotsc, \rho_\ell)$

Saída: Uma permutação tal que π - 1 ⟨ π 1 , ... , π k ⟩ π = ⟨ p 1 , ... , p l de ⟩ , ou "não isomórfico"$\pi \in S_n$$\pi^{-1} \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle \pi = \langle \rho_1, \dotsc, \rho_\ell \rangle$

(onde significa o subgrupo gerado pelo π i ).$\langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$\pi_i$

Como no exemplo do caminho hamiltoniano, existe um trivial ! = 2 O ( n log n ) algoritmo. O mais conhecido atualmente$n! = 2^{O(n \log n)}$ é onde L = ⟨ π 1 , ... , π k ⟩ . Note que | G | pode ser tão grande quanto n ! (trivialmente: G = S $2^{O(n)} |G|^{O(1)}$$G = \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$|G|$$n!$$G = S_n$) ou até para G não trivial (consulte, por exemplo, o Teorema de O'Nan-Scott ). * Removendo a dependência de | G | foi deixado lá como um importante problema em aberto.$n! / n^{O(1)}$$G$$|G|$

* - Apesar de ser grande, portanto, na pior das hipóteses, isso parece assintoticamente não melhor que trivial, acontece que 2 O ( n ) | G | O ( 1 ) foi exatamente o necessário para o teste de isomorfismo no tempo polinomial de grupos sem subgrupos normais abelianos.$G$$2^{O(n)}|G|^{O(1)}$

Calculando o número de cruzamento de um gráfico. Os algoritmos exatos existentes envolvem a formulação como um programa linear inteiro com um número de variáveis ​​cúbicas no número de arestas [Chimani et al, ESA 2008] . Mesmo para o número restrito de cruzamento de uma página, no qual os vértices são colocados no limite de um disco e nas bordas internas do disco, algoritmos conhecidos são exponenciais em vez de exponenciais individuais [Bannister et al. GD 2013] .$O(n\log n)$