Exemplos de derandomização bem sucedida de BPP para P

Quais são alguns dos principais exemplos de derandomização bem-sucedida ou pelo menos progresso na demonstração de evidências concretas em relação a objetivo (não a conexão aleatória da dureza)? $P=BPP$

O único exemplo que me vem à mente é o teste de primalidade determinística no tempo polinomial da AKS (mesmo para isso, havia uma metodologia assumindo GRH). Então, que evidência específica, por exemplo, temos para a des aleatorização (novamente não a dureza ou a conexão do oráculo)?

Mantenha exemplos apenas onde a melhoria da complexidade de tempo foi mostrada, de poli aleatório a poli determinístico ou algo muito próximo para problemas específicos.

A seguir é mais um comentário e eu não sei muito o que ajudará nessa consulta.

Chazelle tem uma afirmação muito intrigante em http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/linernotes.html em 'O método da discrepância: aleatoriedade e complexidade (Cambridge University Press, 2000)'.

'Para mim, tem sido uma fonte infinita de fascínio que um entendimento mais profundo da computação determinística exija o domínio da randomização. Eu escrevi este livro para ilustrar essa conexão poderosa. Das árvores de abrangência mínimas à programação linear e às triangulações de Delaunay, os algoritmos mais eficientes são frequentemente derandomizações de soluções probabilísticas. O método da discrepância destaca as perguntas mais frutíferas de toda a ciência da computação: se você acha que precisa de bits aleatórios, diga-nos por que?

Muitos algoritmos podem ser des randomizados usando técnicas gerais, como o método de expectativas condicionais, o método de estimadores pessimistas e o uso de espaços de amostra de independência limitada. De fato, o teste de primalidade e o teste de identidade polinomial são tão famosos porque são exemplos raros de funções naturais que resistem às técnicas padrão de des randomização.

— Sasho Nikolov 24/03

@SashoNikolov obrigado, o comentário pode ser expandido como uma resposta completa em alguns exemplos. Também é a conexão dureza-aleatoriedade via complexidade do circuito a única razão pela qual as pessoas acreditam

P = B P P

$P=BPP$

Eu acho que isso é um pouco básico demais para uma resposta. Veja o capítulo sobre des randomização em Alon-Spencer para detalhes e exemplos: ele cobre as três técnicas que mencionei.

— Sasho Nikolov 25/03

O interessante da classe BPP é que sua definição teórica requer bits de entrada aleatórios que podem ser facilmente mostrados, usando medidas de des randomização e aleatoriedade de kolomogrov fraca, para não existir em domínios finitos. Não sei como as pessoas podem viver com essa inconsistência. Eu mesmo não acredito que exista uma classe explícita BPP (é NP ou P).

Respostas:

. $SL = L$

meios logspace randomizado e é uma versão mais pequena do problema . Um passo importante foi a prova de Reingold em 2004 ("Unirected ST Connectivity in Logspace") que , onde significa "simétrico" e é uma classe intermediária entre e $RL$ $RL=L$ $RP=P$ $SL = L$ $S$ $SL$ $RL$ $L$ .

A idéia é que você possa pensar em uma máquina de Turing com espaço de log aleatório como um gráfico direcionado de tamanho polinomial, em que os nós são estados da máquina e um algoritmo RL faz um passeio aleatório que possui boas propriedades. SL corresponde a não direcionado gráficos direcionados deste formulário. A prova de Reingold baseada no trabalho em gráficos expansores, particularmente o "produto zig-zag" de Reingold, Vadhan e Wigderson, para dar um passeio aleatório em um gráfico não direcionado com boas propriedades e transformá-lo em um passeio psu-aleatório, mantendo essas propriedades.

editar esta pergunta foi publicada antes que a pergunta fosse explicitamente alterada para se concentrar exclusivamente em P vs BPP ... Estou deixando assim porque parece ser de interesse.

— usul
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Por favor não. A resposta é interessante.

— Emil Jeřábek apoia Monica

Olá, @Estudante., Acho que as pessoas que chegam à pergunta interessada em exemplos de derandomização bem-sucedida se interessam nessa resposta, por isso vou mantê-la, sem desrespeitar seus objetivos (que só foram editados posteriormente para especificar a complexidade do tempo ... )

— usul 24/03

Devo também dizer que as perguntas e respostas deste site devem ser formuladas para que sejam geralmente úteis para futuros visitantes como um recurso de referência, não apenas para atender às metas específicas do pôster. Eu, pelo menos, acho a pergunta sem restrições artificiais à complexidade do tempo e ao BPP é muito mais útil.

— Emil Jeřábek apoia Monica

@ EmilJeřábek Ok, obrigado, vamos deixar o post de usul como está aqui.

@usul 'A idéia é que você possa pensar em uma máquina de Turing com espaço de log aleatório como um gráfico direcionado de tamanho polinomial'. Existe uma intuição adequada que funciona para NL? Eu sei que L não é NL é conjecturado, mas PSPACE = NPSPACE e, portanto, o espaço pode ser diferente do tempo.

— T ....

Basicamente, existe apenas um problema interessante no BPP que não se encontra no P: Teste de identidade polinomial, dado que um circuito algébrico é o polinômio que gera de forma idêntica zero. Impagliazzo e Kabanets mostram que o PIT em P implicaria alguns limites inferiores do circuito. Portanto, os limites inferiores do circuito são a única razão (mas bastante boa) pela qual acreditamos P = BPP.

— Lance Fortnow
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Embora eu concorde com você em um nível alto, acho que a infinidade de algoritmos aleatórios na teoria dos grupos computacionais sugere outra classe bem unida de questões interessantes de des randomização, que parecem não se reduzir ao PIT. Enquanto a maioria destes são funções em vez de problemas de decisão, alguns deles podem ser reformulado como problemas de decisão interessantes em BPP, por exemplo cstheory.stackexchange.com/a/11440/129

— Joshua Grochow

O (f (n))

$O(f(n))$

O (f (n))

$O(f(n))$

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

f (n)

$f(n)$

P = B P P

$P=BPP$ A conjectura é afetada se o hiato aleatório determinístico e esperado não puder ser fechado para esses algoritmos?

— T ....

Além do teste de identidade polinomial, outro problema muito importante conhecido no BPP, mas não no P, é a aproximação da permanente de uma matriz não negativa ou mesmo o número de combinações perfeitas em um gráfico. Existe um algoritmo aleatório poli-tempo para aproximar esses números dentro de um fator (1 + eps), enquanto os melhores algoritmos determinísticos atingem apenas aproximações de fator ~ 2 ^ n.

Embora permanente seja o exemplo principal, existem muitos problemas de contagem aproximados para os quais existe uma enorme lacuna entre algoritmos aleatórios (normalmente baseados em métodos 'MCMC') e algoritmos determinísticos.

Outro problema em uma veia semelhante é aproximar o volume de um corpo convexo explicitamente dado (digamos, um poliedro descrito por uma coleção de desigualdades lineares).

— Raghu Meka
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Uma sutileza em P vs BPP, que eu gostaria de entender melhor, é a diferença entre problemas de função e problemas de decisão. Pode ser que haja muitos problemas de função solucionáveis (em algum sentido) aleatoriamente, mas não deterministicamente no tempo polinomial, mas P = BPP. Parece que seus exemplos provavelmente se traduzem facilmente em problemas de decisão, certo?

— usul 26/03

Os problemas de decisão versus função são um pouco mais sutis do que no mundo da NP, mas ainda se sabe muito: por exemplo, este artigo na seção 3 fornece um exemplo de um "problema aleatório de pesquisa por tempo polissolúvel resolvível" que nem é decidível. Porém, se a função é individual, P = BPP implica que um "problema aleatório da função passível de solução de polissolúvel" tenha um algoritmo determinístico de polietileno (o artigo também fornece muitos outros exemplos)

— Joe Bebel