1) É possível ter uma redução parcimoniosa de um problema # P-completo # A para um problema de contagem # B quando (a versão de decisão) A está NP-completa e B está em P?
Por exemplo, pode haver uma redução parcimoniosa de #SAT para #B, quando B está em P?
2) Se B estiver em P, quais são as diferentes possibilidades para a complexidade de #B?
Respostas:
Se você insistir em reduções parcimoniosas (em que o número de soluções é preservado), não poderá obter tal redução, a menos que P = NP, porque o algoritmo de decisão para o não vazio de soluções para B fornecerá um algoritmo de decisão para o não vazio de soluções para R. Por outro lado, se você permitir outro tipo de redução, poderá ter esse caso. Por exemplo, Valiant mostrou que #SAT se reduz ao problema de contar combinações perfeitas em um gráfico bipartido: a redução começa com uma fórmula CNF e cria um gráfico bipartido cujo número de combinações perfeitas mod é vezes o número de atribuições satisfatórias de , ondeé o número de ocorrências literais em . Note como esta não é uma redução parcimoniosa, mas uma redução, no entanto, desde que você pode recuperar o número de satisfazer as atribuições de a partir do número de emparelhamentos perfeitos de .
Veja o capítulo 18 no livro "Complexidade computacional" de Papadimitriou para uma exposição clara disso.
A resposta para a pergunta 2 é que a complexidade do problema de contagem # B pode ser basicamente qualquer coisa (nem mesmo necessariamente computável). Mais precisamente, a restrição de que a versão de decisão está em P não tem nenhuma implicação na complexidade da versão de contagem. Isso ocorre porque você pode adicionar uma solução fictícia a qualquer problema de relação para que a versão da decisão se torne trivial (a resposta sempre será sim) sem alterar a complexidade da versão da contagem.