Como na maioria das perguntas complexas, não tenho certeza de que haverá uma resposta completa por muito tempo. Mas podemos pelo menos mostrar que a resposta não é relativizante: existe um oráculo relativo ao qual a desigualdade se mantém e um relativo ao qual a igualdade se mantém. É bastante fácil dar um oráculo em relação ao qual as classes são iguais: qualquer oráculo que tenha B P P = R P funcionará (por exemplo, qualquer oráculo em relação ao qual "a aleatoriedade não ajuda muito"), assim como qualquer oráculo que tenha N P ⊆ B P P (por exemplo, qualquer oráculo em relação ao qual "a aleatoriedade ajuda muito"). Existem muitos deles, então não vou me preocupar com os detalhes.BPP=RPNP⊆BPP
É um pouco mais desafiador, embora ainda bastante simples, para projetar um parente oráculo para qual obtemos R P ⊊ B P P ∩ N P . A construção abaixo, na verdade, faz um pouco melhor: para qualquer constante c , existe uma relação Oracle para o qual existe uma língua em c o R P ∩ L P que não é em R P T I H E [ 2 n c ] . Vou descrevê-lo abaixo.RP⊊BPP∩NPccoRP∩UPRPTIME[2nc]
Vamos projetar um oráculo A que contém cadeias de caracteres da forma ( x , b , z ) , onde x é uma cadeia de n bits, b é um bit e z é uma cadeia de bits de comprimento 2 n c . Nós também lhe dará uma linguagem L A que será decidido por um c o R P máquina e um U P aparelho da seguinte forma:A(x,b,z)xnbz2ncLAcoRPUP
- A máquina c o R P , na entrada x , adivinha z de comprimento 2 | x | c aleatoriamente, consulta ( x , 0 , z ) e copia a resposta.coRPxz2|x|c(x,0,z)
- A máquina U P , na entrada x , adivinha z de comprimento 2 | x | c , consulta ( x , 1 , z ) e copia a resposta.UPxz2|x|c(x,1,z)
Para que as máquinas acima especificadas realmente cumpram suas promessas, precisamos de A para satisfazer algumas propriedades. Para cada x , uma dessas duas opções deve ser o caso:Ax
- Opção 1: No máximo metade dos z escolhas tem ( x , 0 , z ) ∈ um e de zero z escolhas tem ( x , 1 , z ) ∈ Uma . (Nesse caso, x ∉ L A. )z(x,0,z)∈A z(x,1,z)∈Ax∉LA
- Opção 2: Cada z escolha tem ( x , 0 , z ) ∈ A e precisamente um z escolha tem ( x , 1 , z ) ∈ Uma . (Nesse caso, x ∈ L A. )z(x,0,z)∈A z(x,1,z)∈Ax∈LA
O nosso objectivo será o de especificar uma satisfazendo estes promessas de modo a que G A diagonaliza contra cada R P T I H E [ 2 n c ] máquina. Para tentar manter essa resposta já longa, deixarei de lado as máquinas de construção do oráculo e muitos detalhes sem importância e explicarei como diagonalizar em relação a uma máquina específica. Corrija M uma máquina de Turing aleatória e deixe x ser uma entrada para que tenhamos controle total sobre a seleção de b 'e z ' s para que ( x , b , zALARPTIME[2nc]Mxbz) ∈ Uma . Vamos quebrar M em x .(x,b,z)∈AMx
Caso 1: Suponha que exista uma maneira de selecionar os zs para que A satisfaça a primeira opção de sua promessa e M tenha uma escolha aleatória que aceite. Em seguida, confirmaremos A nessa seleção. Em seguida, M não pode satisfazer simultaneamente a R P promessa e rejeitar x . No entanto, x ∉ G Uma . Portanto, temos diagonalizado contra M .zAMAMRPxx∉LAM
Caso 2: Em seguida, suponha que o caso anterior não deu certo. Vamos agora mostrar que, em seguida, M pode ser forçados a quebrar a R P promessa ou rejeitar em algum escolha de um satisfazendo a segunda opção de sua promessa. Este diagonaliza contra H . Faremos isso em duas etapas:MRPAM
- Mostram que para cada escolha fixo r de M bits aleatórios 's, H deve rejeitar quando todas as suas consultas da forma ( x , 0 , z ) estão em uma e todas as suas consultas da forma ( x , 1 , z ) não estão em a .rMM(x,0,z)A(x,1,z)A
- Mostrar que podemos virar uma resposta ( x , 1 , z ) de A para alguma escolha de z sem afetar a probabilidade de aceitação de M por muito.(x,1,z)AzM
De fato, se começarmos com A da etapa 1, a probabilidade de aceitação de M é zero. A não satisfaz completamente a segunda opção de sua promessa, mas podemos virar um pouco como na etapa 2 e ela o fará. Desde lançando o bit provoca M probabilidade de aceitação 's para ficar perto de zero, segue-se que M não pode aceitar simultaneamente x e satisfazer a R P promessa.AMA
Resta discutir as duas etapas no caso 2:
Fixar uma escolha aleatória de bits de R por H . Agora simular M usando r como a aleatoriedade e responder a consultas de modo que ( x , 0 , z ) ∈ A e ( x , 1 , z ) ∉ Uma . Observe que M faz no máximo 2 n c consultas. Como existem 2 2 n c opções de z , podemos corrigir as opções não questionadas de z para ter ( x, 0 , z ) ∉ A e tenha A ainda satisfaz a primeira opção de sua promessa. Como não conseguimos fazer o Caso 2 funcionar para M , isso significa que M deve rejeitar todas as suas escolhas de aleatoriedade em relação a A , e em particular em r . Conclui-se que, se seleccionar A ter ( x , 0 , z ) ∈ A e ( x , 1 , z ) ∉ Um para cada escolha de z, Em seguida, para cada escolha de bits aleatória r , M rejeita relativa a uma .
Suponha-se que para cada z , a fracção de bits aleatórios para o qual M consultas ( x , 1 , z ) é, pelo menos, 1 / 2 . Em seguida, o número total de consultas é pelo menos 2 2 n c 2 2 n c / 2 . Por outro lado, M faz no máximo 2 2 n c 2 n c consultas em todos os seus ramos, uma contradição. Portanto, existe uma escolha de z para que a fração de bits aleatórios para a qual Mconsultas ( x , 1 , z ) é menor que 1/2. Lançando o valor de à esta cadeia, por conseguinte, afecta a probabilidade de aceitação de H pelo menos de 1 / 2 .