Máxima correspondência de peso e funções submodulares

Dado um gráfico bipartido com pesos positivos, deixe com igual ao peso máximo correspondente no gráfico . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

É verdade que é uma função submodular? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
fonte

O que você acha? Você já tentou provar / refutar?

— Yuval Filmus

Intuitivamente, parece que deveria ser verdade, mas não pude provar. Também acho que, se for verdade, deve ser um resultado bem conhecido, mas não consegui encontrar uma referência.

— George Octavian Rabanca

Isso vale para caixas não ponderadas, pois podem ser reduzidas a min-cortes. Não é óbvio como provar a versão ponderada ...

— Chao Xu

Considere com pesos de borda 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamon Parece que no último passo você assume que é aditivo, o que não é verdade. A correspondência máximo de pode usar vértices que já foram usados por ambos correspondência de e . Eu tenho uma prova disso agora, mas é definitivamente mais envolvido do que isso.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

Definição . Para um dado conjunto finito , uma função de conjunto é submodular se, para qualquer ele sustenta que: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lema Dado um gráfico bipartido com pesos de borda positivos, seja a função que mapeia para o valor máximo correspondência de peso em . Então é submodular. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Prova. Corrija dois conjuntos e permita que e sejam duas correspondências para os gráficos e respectivamente . Para provar o lema, basta mostrar que é possível particionar as arestas em e em duas correspondências e para os gráficos e respectivamente. . $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

As arestas de e formam uma coleção de caminhos e ciclos alternados. Vamos denotar esta recolha e observar que nenhum ciclo de contém vértices de ou . Isso ocorre porque não corresponde a esses vértices. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Vamos ser o conjunto de caminhos de com pelo menos um vértice em e deixá- ser o conjunto de caminhos de com pelo menos um vértice em . Dois desses caminhos são representados na figura abaixo. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Reivindicação 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Suponha por contradição que existe um caminho . Vamos ser um vértice em no trajecto e semelhante deixar ser um vértice em no caminho . Observa-se que uma vez que nem nem pertencem que não pertencem ao correspondente , por definição, e, por conseguinte, eles são os pontos de extremidade do caminho . Além disso, como e estão em $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ $y$ $A$ , o caminho tem comprimento uniforme e, como é um caminho alternativo, a primeira ou a última aresta pertencem a . Portanto, corresponde a ou , o que contradiz a definição e comprova a afirmação. $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Seja e É claro que

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ e

. Para provar o teorema, resta mostrar que

são correspondências válidas para

respectivamente. Para ver que

é uma combinação válida para

observe primeiro que nenhum vértice de

é correspondido por

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

desde

não intersecta

na Reivindicação 1, e

não intersecta

, por definição. Portanto,

utiliza apenas vértices de

. Segundo, observe que todo vértice

corresponde a no máximo uma aresta de

pois, caso contrário,

pertence a duas arestas de

ou a duas arestas de

, contradizendo a definição. Isso prova que

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ é uma correspondência válida para

; mostrando que

é um emparelhamentos válidos para

é semelhante.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
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Isso parece ótimo! Como sugestão secundária: as definições de

não são simétricas, portanto, sua afirmação final de que "

... é semelhante" não é imediata. É mais claro (eu acho) se você deixar

denotar os componentes conectados que não tocam em nenhum vértice em

e definir

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

ser o mesmo com

permutado e, em seguida, o último

alterado para

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan