Um oráculo aleatório pode alterar os problemas de TFNP que são fortemente difíceis de obter em média?

Eu estive pensando sobre a seguinte pergunta em
vários momentos desde que vi essa pergunta sobre criptografia .

Questão

Seja $R$ uma relação TFNP . Um oráculo aleatório pode ajudar P / poli
a romper $R$ com probabilidade não desprezível? Mais formalmente, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

Faz

para todos os algoritmos P / poli , é insignificante $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

implica necessariamente que

para quase todos os S racles , para todos P / poli-A Oracle algoritmos , é desprezável $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

Formulação alternativa

O conjunto relevante de oráculos é $G_{\delta\sigma}$ (portanto mensurável); portanto, ao tomar contrapositiva e aplicar a lei zero-um de Kolmogorov , a formulação a seguir é equivalente à original.

Faz

para quase todo o racles , existe um P / poli Oracle algoritmo tal que é não negligenciável $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

implica necessariamente que

existe um algoritmo P / poli tal que não seja desprezível $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

O caso uniforme

Aqui está uma prova da versão uniforme :

Existem apenas muitos algoritmos de oracle PPT, portanto, pela aditabilidade contável do nulo [ideal] [8], existe um algoritmo PPT tal que, para um conjunto não nulo de oráculos , não é desprezível. Seja um algoritmo de oráculo. $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

Da mesma forma, seja um número inteiro positivo, de modo que para um conjunto não nulo de oráculos , seja infinitamente frequente pelo menos , onde é o comprimento da entrada. Pelo contrapositivo de Borel-Cantelli , é infinito. $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

Pelo teste de comparação , com frequência infinita . $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

Seja o algoritmo PPT que [simula o oráculo] [12] e executa com esse oráculo simulado. $S$ $B$

Corrija e deixe ser o conjunto de oráculos tal que . $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

Se não for nulo, então . $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

Desde a $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ infinitamente, não é desprezível. $\Pr_x[R(x,S(x))]$

Portanto, a versão uniforme é válida. A prova usa criticamente o fato de que existem
apenas muitos PPT algoritmos de oracle . Essa idéia não funciona no
caso não uniforme, pois existem muitos algoritmos P / poli oracle contínuos.

— Comunidade
fonte

Eu não acho que isso seja realmente uma pergunta sobre oráculos. Como é independente de , você também pode simplesmente dar acesso a uma sequência aleatória. A questão é: a aleatoriedade aumenta a potência dos circuitos de tamanho poligonal. A resposta para isso é "não", pois, se forneceu um acesso aleatório a uma sequência aleatória, então, por um argumento de média, existiria uma configuração específica da sequência aleatória com a qual poderia se sair bem e então poderíamos conecte essa corda no circuito de

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Adam Smith

@ AdamSmith: "Como é independente de , você também pode dar acesso a uma sequência aleatória" é a intuição, mas não vejo como transformá-la em prova.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@ Adam, há outro quantificador que é importante. Eu acho que é mais fácil olhar para a negação: é possível que para quase todos os oráculos exista um adversário não uniforme que possa usar o oráculo para resolver o problema de busca?

— Kaveh

Eu vejo. Eu estava respondendo uma pergunta diferente. Desculpe pela confusão.

— Adam Smith

@domotorp: Eles devem ser corrigidos agora. (Meu melhor palpite para por que o que aconteceu é o uso de links numerados em vez de ligações in-line.)

$\hspace{1.05 in}$

Não ao meu título e Sim ao corpo da minha pergunta. De fato, isso generaliza imediatamente
todos os jogos de comprimento polinomial que não usam o código dos adversários.

Note que eu usarei para os adversários, em vez de , para combinar com a notação do Teorema 2 . $C$ $A$

Suponha que, para quase todos os oráculos , exista um algoritmo P / poli oracle tal que não é desprezível. $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

Para quase todos os oráculos , existe um número inteiro positivo d tal que existe uma sequência de circuitos de tamanho no máximo d + n ^d tal que $\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ é infinitamente maior que . $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

Por aditabilidade contável, existe um número inteiro positivo d tal que, para um conjunto não nulo de oráculos , existe uma sequência de circuitos de tamanho no máximo d + n ^d tal que é infinitamente maior que $\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$ .

Seja j esse anúncio e z seja o algoritmo de oráculo (não necessariamente eficiente) que
recebe n como entrada e gera o menor circuito de oráculo lexicograficamente menor no tamanho j + n que maximiza . Pelo contrapositivo de Borel-Cantelli , $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ para infinitamente muitos n.

Para tal n,

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

.

Seja o algoritmo oracle que recebe 2 entradas, uma das quais é , e faz o seguinte: $A$ $n$

Escolha uma sequência aleatória de n bits . Tente [analisar a outra entrada como um circuito oracle e executar esse circuito oracle na string de n bits]. Se isso der certo e a saída do circuito oracle satisfizer R (x, y), então a saída 1, então a saída 0. (Observe que não é apenas o adversário.) Para infinitamente muitos n, . $x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$
Seja p como no Teorema 2 e defina $\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ .

No Teorema 2 , existe uma função oracle tal que com como nesse teorema, seentão $\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ .

Para n tal que $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ :

Em particular, existe um circuito oracle de tamanho no máximo j + n e uma atribuição de comprimento no máximo f tal forma que com que a entrada e presampling, probabilidade de produzir de for maior do que . Os circuitos Oracle de tamanho no máximo j + n podem ser representados com bits poli (n), portanto, para p é delimitado acima por um polinômio em n, o que significa que f também é delimitado acima por um polinômio em n. $\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

Pela construção de , isso significa que existem circuitos oracle de tamanho no máximo j + n e uma atribuição de comprimento polinomial tal que, quando executada com essa pré-amostragem, a probabilidade de os circuitos encontrarem uma solução é maior que . Como esses circuitos não podem fazer consultas maiores que j + n $A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ bits, entradas pré-amostradas por mais tempo do que isso podem ser ignoradas, para que essa pré-amostragem possa ser simulada de maneira eficiente e perfeita com um oráculo aleatório e bits codificados em poli (n). Isso significa que existem circuitos oraculares de tamanho polinomial, de modo que, com um oráculo aleatório padrão, a probabilidade de os circuitos encontrarem uma solução é maior que . Tal oráculo aleatório, por sua vez, pode ser simulado de maneira eficiente e perfeita com apenas bits aleatórios comuns, de modo que existem circuitos probabilísticos de não oráculo de tamanho polinomial cuja probabilidade de encontrar uma solução é maior que $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ . Por sua vez, codificando a aleatoriedade óptica, existem circuitos determinísticos de tamanho polinomial (não oráculo) cuja probabilidade (acima da escolha de x) de encontrar uma solução é maior que . Como mostrado anteriormente nesta resposta, existem infinitamente muitos n tais que $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ , $\;\;\;$ então existe um polinômio tal que

a sequência cuja n-ésima entrada é o menos lexicograficamente
[circuito C de tamanho delimitado acima por esse polinômio] que maximiza $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

é um algoritmo P / poli cuja probabilidade (acima da escolha de x) de encontrar uma solução não é desprezível.

Portanto, a implicação no corpo da minha pergunta sempre se mantém.

Para obter a mesma implicação para outros jogos polinomial de comprimento, apenas
alterar esta de prova para fazê-lo ter a entrada da Oracle-circuitos jogar o jogo. $A$