Qual é a menor classe de complexidade para a qual um circuito superlinear é conhecido?

Desculpas por fazer uma pergunta que certamente deve estar em muitas referências padrão. Estou curioso sobre exatamente a pergunta no título, em particular estou pensando em circuitos booleanos, sem limite de profundidade. Coloquei "menor" entre aspas para permitir a possibilidade de haver várias classes diferentes, não conhecidas por se incluirem, pelas quais um limite superlinear é conhecido.

Acredito que as menores classes conhecidas são (Cai, 2001), (Vinodchandran, 2005) e (Santhanam, 2007). Sabe-se que todos estes não estão em para cada constante .P P ( M A ∩ c o M A ) / 1 S I Z E ( n k ) $S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

O resultado mais forte que eu sou em conta é que, para todos os k, existe um problema em $S_2^P$ que requer circuitos de tamanho $\Omega(n^k)$ .

é uma classe contida em Z P P N P , que é ela própria dentro de Σ P 2 ∩ ¸ P 2 . (Ozoológico de complexidadetem mais informações sobre essa classe.)$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

O resultado decorre da versão mais forte do teorema de Karp-Lipton, devido a Cai .

Uma prova rápida de como isso decorre do teorema KL: Primeiro, se SAT requer circuitos de tamanho super-polinomiais, estamos a fazer, uma vez que já exibiu um problema na que precisa de circuitos de tamanho super-polinomiais. Se SAT possui circuitos de tamanho polinomial, então, pela versão mais forte do teorema de Karp-Lipton, o PH entra em colapso para S P 2 . Sabemos que o PH contém problemas como esses (pelo resultado de Kannan), e, portanto, o S P 2 contém esse problema.$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

$NP$$5n$

Veja o livro de Arora e Barak, página 297. Richard J. Lipton publicou em seu blog um post sobre esses resultados, veja também este .

$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

Um problema de decisão não computável com circuitos io- é o menor número (consultado usando seus dígitos binários) que não é a tabela verdadeira de um circuito com portas. Se NP estiver em P / poli, o problema terá uma testemunha inconsciente irrefutável, que consiste no seguinte: (1) (2) um circuito que forneceu , mostra que tem um circuito suficientemente pequeno. (3) (usado apenas para o ligado) um verificador que nos permite executar o circuito do oponente por (2) apenas vezes (obtendo 1 bit por corrida )N n k ⌊ ( log n ) c + 1 ⌋ N N ′ < N N ′ ˜ O ( n k 3 ) O ( 1 $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

Em uma nota separada, para cada , existem problemas de decisão em (MA ∩ coMA) / 1 que não possuem circuitos . '/ 1' significa que a máquina recebe um conselho que depende apenas do tamanho da entrada. Além disso, a cadeia de Merlin envia pode ser escolhida a depender apenas do tamanho de entrada (com esta restrição, MA é um subconjunto de ), e o aconselhamento complexidade . A prova (Santhanam 2007) generaliza IP = PSPACE e PSPACE⊂P / poly ⇒ PSPACE = MA usando um certo problema de comportamento completo do PSPACE bem comportado e preenchendo as entradas para obter tamanhos mínimos de circuito que são infinitamente frequentemente entre e , usando conselhos para detectar exemplos suficientes de taisO ( n k ) O 2 P Σ P 2 n k + 1 n k + 2 n $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$, e para estes , resolvendo o problema acolchoado, fazendo Merlin produzir esse circuito.$n$