Classes de complexidade P / Poly vs Uniform

Não se sabe se NEXP está contido em P / poli. De fato, provar que o NEXP não está em P / poli teria algumas aplicações na des aleatorização.

Qual é a menor classe uniforme C para a qual se pode provar que C não está contido em P / poli?
Mostrar que o co-NEXP não está contido em P / poli teria outras consequências teóricas da complexidade, como no caso NEXP vs P / poli?

Nota: Estou ciente de que é conhecido por não estar contido no para cada constante fixa (isso também foi mostrado para MA com 1 bit de aviso). Mas nesta pergunta não estou interessado em resultados para fixo . Estou realmente interessado em aulas diferentes de P / Poly, mesmo que sejam muito grandes. $SP_2$ $Size[n^k]$ $k$ $k$

complexity

— Springberg
fonte

Você está essencialmente solicitando um problema com limites inferiores de tamanho superpolinomial para circuitos gerais.

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ não está em

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ . Veja o artigo da Wikipedia para uma prova curta.

— Robin Kothari

P / poli é fechado sob complemento, portanto, contém NEXP se e somente se contém coNEXP.

— Emil Jeřábek

Emil, Robin e Andrew, obrigado por suas respostas. Acho que minha pergunta pode ser considerada respondida agora. Alguém escreveria isso em uma resposta para que eu possa aceitá-lo?

— Springberg

Acredito que seja a menor classe uniforme com limites superpolinomiais conhecidos ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ), e que é o menor com limites polinomiais arbitrários ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

M A_{e x p}

$MA_{exp}$

O_{2}^{P}

$O^P_2$

— Alex Golovnev

$\let\mr\mathrm$ Existem vários resultados na literatura que afirmam que uma determinada classe satisfaz para qualquer , e geralmente é simples preenchê-los para mostrar que a versão superpolinomialmente expandida de não está em . $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Deixe-me dizer que é um limite superpolinomial se for construtível pelo tempo . Por exemplo, é um limite superpolinomial. De fato, um exercício instrutivo mostra que se é uma função computável monótona e ilimitada, existe um limite superpolinomial tal que . $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

Primeiro, a diagonalização direta mostra que para qualquer . O mesmo argumento fornece: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se for qualquer limite superpolinomial, então . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esboço de prova: para qualquer , seja o primeiro circuito lexicograficamente de tamanho que calcula uma função booleana em variáveis não computáveis por um circuito de tamanho . Então, o idioma definido por funciona. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Uma melhoria conhecida afirma que para qualquer . Da mesma forma, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se for qualquer limite superpolinomial, então . $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esboço prova: Se não, então, em particular, , portanto, . Por um argumento de preenchimento, , não . $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Classes inconscientes se saem ainda melhor. Levando em conta a objeção levantada por Apoorva Bhagwat, vamos . Então para qualquer , e o mesmo argumento gera: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se for qualquer limite superpolinomial, então . $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esboço prova: Se , seguida por preenchimento, , o que implica . Então procedemos como antes. $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

Também existem resultados envolvendo MA. O resultado frequentemente mencionado de que é um exagero. Santhanam provou para qualquer , e um argumento semelhante fornece: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

Se for qualquer limite superpolinomial, então $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Esboço de prova: pelo Lemma 11 de Santhanam (que é uma versão aprimorada do fato padrão de que com um provador PSPACE), há uma linguagem completa do PSPACE e um oracle TM-oracle aleatório TM tal que na entrada , apenas solicita consultas oracle de comprimento; se , então aceita com probabilidade ; e se , então para qualquer oráculo , aceita com probabilidade . $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

Para um polinômio monótono adequado , seja o problema de promessa definido por Seja uma redução polinomial de em seu complemento e seja o problema da promessa $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ Se for escolhido adequadamente grande, Portanto, suponhamos por contradição que tenha circuitos de tamanho polinomial, digamos, . Vamos denotar o tamanho do menor circuito de computação nas entradas de comprimento e colocar ; mais precisamente, Então $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ é uma redução de para , portanto , o que significa Mas como é superpolinomial, temos . Isso dá uma contradição para suficientemente grande. $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Se preferirmos um resultado com uma versão não promissora do MA, Miltersen, Vinodchandran e Watanabe, provaram que para uma função semi-exponencial . Podemos lo de duas maneiras: primeiro, ele vale para - limites exponenciais para qualquer constante , e segundo, para classes alheias. Aqui, uma função -exponential é, grosso modo, uma função tal que sustenta

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ . Veja o artigo de Miltersen – Vinodchandran – Watanabe e suas referências para a definição precisa; envolve uma família bem comportada de funções bem comportadas , , de modo que , e . Além disso, se e , em seguida, . Então nós temos:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ para qualquer . $\alpha>0$

Esboço de prova: suponha o contrário. Corrija um número inteiro modo que . Deixe-me abreviar Por preenchimento, temos para qualquer . Além disso, usando, por exemplo, o Lemma 11 de Santhanam acima, temos a implicação Como trivialmente , um aplicativo repetido de (1) e (2) mostra , $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M UMA - T Eu M E (p o eu y (f (p o eu y (n))) \cap c o O M UMA - T Eu M E (p o eu y (f (p o eu y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 1 / k}) \subseteq S Eu Z E (e_{β} (p o eu y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} 2) & P S P UMA C E \subseteq S Eu Z E (e_{β} (p o eu y (n))) ⟹ P S P UMA C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , e assim por diante. Após etapas, alcançamos Usando o padding mais uma vez, obtemos que contradiz os resultados acima , como é um limite superpolinomial. $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P UMA C E \subseteq P / p o eu y e P S P UMA C E = O M UMA \cap c o O M UMA .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P UMA C E (e_{1 1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 1 / k}) \subseteq P / p o eu y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— Emil Jeřábek
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Como ninguém postou uma resposta, eu mesmo responderei a pergunta com os comentários postados na pergunta original. Agradecimentos a Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan e Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ parece ser a menor classe uniforme com limites inferiores superpolinomiais conhecidos.

$O_2^P$ parece ser a menor classe conhecida que não possui circuitos de tamanho para cada fixo . $n^k$ $k$

Por diagonalização, segue-se que para qualquer função super polinomial (e construtível em espaço) , o não possui circuitos de tamanho polinomial. versus ainda está aberto. $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ é fechado sob complemento, portanto, contém se e somente se contém . $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
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Por favor me corrijam se eu estiver errado, mas tanto quanto eu posso dizer, nós realmente não sabemos o tamanho fixo-polinomial limite inferior para . Isso ocorre porque o argumento usual de Karp-Lipton não passa por , pois não sabemos se (na verdade, isso é equivalente a perguntar se ). No entanto, sabemos que não está contido em para qualquer , como mostrado por Chakaravarthy e Roy. $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— Apoorva Bhagwat
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