Qual é a complexidade de distinguir um verdadeiro espectro de Fourier de um falso?

Uma máquina $PH$ recebe acesso Oracle a uma função booleana aleatória $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ e dois espectros de Fourier $g$ e $h$ .

O espectro de Fourier de uma função $f$ é definido como $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

Um de $g$ ou $h$ é o verdadeiro espectro de Fourier de $f$ eo outro é apenas um espectro falso de Fourier pertencente a uma função booleana aleatória desconhecida.

Não é difícil mostrar que uma máquina $PH$ nem consegue aproximar $F(s)$ para qualquer $s$ .

Qual é a complexidade da consulta de decidir com alta probabilidade de sucesso qual é o verdadeiro?

É interessante para mim, pois, se esse problema não está no $PH$ , pode-se mostrar que existe um oráculo em relação ao qual o $BQP$ não está em um subconjunto do $PH$ .

— Mirmojtaba Gharibi
fonte

@Mirmojtaba: Embora eu conheça o problema e a motivação, seria bom se você pudesse editar sua pergunta e definir "espectros de Fourier" e explicar a motivação para os leitores que não estão familiarizados com esse problema (ou apenas com a terminologia usada). Você pode obter mais respostas das pessoas dessa maneira. Além disso, geralmente é preferível se você editar a pergunta para adicionar comentários adicionais, em vez de publicá-las no segmento de comentários. (Para que os leitores só precisa de ler sua pergunta e não os comentários.)

— Robin Kothari

Talvez eu tenha entendido mal o problema, mas parece que esse problema é muito difícil. Se g e h estão muito próximos (digamos que diferem em apenas 1 bit), como uma máquina BQP decide qual é o espectro de Fourier correto de f? O limite inferior do problema de pesquisa não implica que isso seja difícil para computadores quânticos?

— Robin Kothari

Eu tenho uma pergunta mais básica. dada uma função arbitrária, é fácil saber se é realmente o espectro de quatro camadas de uma função booleana?

— Suresh Venkat

como um aparte, como ele esperou dois dias antes do cruzamento, e também depois de não receber resposta aqui, acho perfeitamente bom fazê-lo. Veja também a resolução alcançada aqui: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— Suresh Venkat

O que é uma máquina PH? De fato, isso parece irrelevante se você estiver interessado apenas na complexidade da consulta, certo? Nesse caso, o problema parece se resumir a um problema simples de álgebra linear, que provavelmente fornece uma complexidade de consulta exponencial.

— Domotorp #

Respostas:

Desculpe o atraso - é uma pergunta maravilhosa! Como outros já apontaram, foi exatamente por isso que fiz a pergunta no meu artigo BQP vs. PH e por que passei 4 ou 5 meses trabalhando sem sucesso em 2008. Uma maneira de responder à pergunta seria provar uma afirmação muito mais geral que chamei de "Conjectura Linial-Nisana Generalizada" - mas, infelizmente, essa conjectura acabou sendo falsa , pelo menos para circuitos de profundidade 3 e superior. (Eu ainda acho que provavelmente é verdade para circuitos de profundidade 2, o que produziria pelo menos uma separação de oráculo entre BQP e AM.) Para idéias mais recentes (a mais recente, até onde eu sei) em relação a uma separação de oráculo entre BQP e PH, veja o belo artigo de acompanhamento de Fefferman, Shaltiel, Umans,

— Scott Aaronson
fonte

a afirmação acima da pergunta de Gharibi é idêntica ou ligeiramente diferente? é uma versão relativizada sua?

— vzn

É uma variante leve, mas acredito que não é difícil provar equivalente. Primeiro, certamente, se você pode resolver a verificação de Fourier, também pode resolver o problema de Gharibi (basta executar o algoritmo FC separadamente para geh). Por outro lado, se você puder resolver o problema de Gharibi, dada uma instância de FC, nomeie a segunda função FC de "g" ou "h" uniformemente aleatoriamente e defina a outra das duas (respectivamente h ou g) como uma função aleatória. Se o algoritmo Gharibi sempre seleciona a função original da instância FC, isso mostra que a instância foi relacionada mais do que aleatória.

— Scott Aaronson

É mais conhecido quando f está em P?

— Gil Kalai

Gil: Na verdade não! Você recebe um problema de promessa não relativizada no BQP, que não sabemos estar no PH. Certamente, você pode simular o caso "aleatório" do problema do oráculo, substituindo fe por funções pseudo-aleatórias (calculadas no tempo que é um polinômio maior do que a máquina PH disponível). A parte difícil é: como você simula o caso "relacionado" do problema do oráculo (onde f é próximo à transformada de Fourier de g)? Ou seja, como você fornece pequenos circuitos para tais fe que não "denunciam o jogo inteiro"? (Um problema similar ocorre com o problema de Simon.)

— Scott Aaronson

Scott Aaronson pode ser a melhor pessoa do mundo para responder a essa pergunta; talvez ele tenha uma resposta melhor depois que ela for publicada. ele propôs o problema original no qual essa pergunta postada parece ser uma variante muito pequena, o chamado problema de verificação de fourier (mais referências a isso nos comentários). o problema está intimamente relacionado / quase equivalente a separar duas importantes classes de complexidade PH e BQP, que é um problema-chave em aberto da teoria da complexidade da GQ, e presumivelmente é muito difícil. não parece que muita pesquisa direta / posterior tenha sido feita sobre o problema até agora por alguém que não seja Aaronson e talvez nem mesmo ele (aparentemente, tem apenas pouco mais de dois anos).

no entanto, aqui está pelo menos um artigo de alguém que não seja Aaronson que foca / constrói a conjectura / problema com alguns novos resultados.

As acelerações exponenciais são genéricas por Fernando GSL Brandão e Michał Horodecki

Em nosso artigo [4], generalizamos o problema da verificação de Fourier [1] e mostramos que a transformada de Fourier, tanto na definição do problema quanto no algoritmo quântico que o resolve, pode ser substituída por uma grande classe de circuitos quânticos. Isso inclui tanto a transformada de Fourier sobre qualquer grupo finito (possivelmente não abeliano) quanto quase qualquer circuito quântico suficientemente longo de uma distribuição natural no conjunto de circuitos quânticos. Obtemos separações exponenciais das complexidades de consulta clássica quântica e pós-selecionadas para todos esses circuitos.

— vzn
fonte

Adendo: Aaronson formulou o problema da verificação de Fourier especificamente como uma rota possível / plausível para resolver o na ref [1] do documento de .

B Q P ⊈ P H

$BQP\nsubseteq PH$

— vzn