Desmorona sob a suposição de que

Sabe-se que se , a hierarquia polinomial colapso para e .$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

Quais são os colapsos mais fortes que se sabe se o ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Creio que a mais forte é que $NEXP = MA$ . Isso foi provado por Impagliazzo Kabanets e Wigderson.

Consulte https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=pt_BR&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Eu também estaria interessado em saber de colapsos mais fortes do que isso.

Editar (24/8): OK, pensei em algum colapso potencialmente mais forte, que se segue essencialmente das provas do artigo acima. Porque implica N E X P = E X P (ver a ligação acima), e E X P é fechada sob complemento, que também tem N E X P fechada sob complemento e, por conseguinte, N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, que é um pouco mais forte. De fato, a hipótese implica que, para qualquer linguagem , uma única cadeia de testemunhas w n pode ser usada no protocolo MA correspondente para todas as instâncias YES de qualquer comprimento n , assim também N E X P = O M A ∩ c O O M A (onde S H Um = "Ignorando MA", ver Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$) Essas propriedades extras, embora técnicas, podem ser úteis em algum argumento de limite inferior do circuito.

Edição 2: Parece que Andrew Morgan já destacou isso. Opa :)

Muitas coisas divertidas acontecem. A maioria dos que conheço começa com o artigo da IKW . Lá, o colapso $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ é mostrado e (eu acho) é o colapso literal mais forte das classes de complexidade que conhecemos. Existem outros tipos de "colapsos", que eu acho que deveriam ser apontados.

O mais importante, penso eu, é a propriedade "testemunha sucinta universal" (também do artigo da IKW). Por um lado, fornece uma ferramenta a partir da qual muitos dos outros colapsos são conseqüências diretas; por outro, os limites inferiores do circuito recente (por exemplo, aqui e aqui ) para o $\textsf{NEXP}$ exploram essa conexão. Resumidamente, a propriedade diz que, para cada $\textsf{NEXP}$ linguagem $L$ , e qualquer $\textsf{NEXP}$ -máquinasferramentas $M$ decidir $L$ , cada $x \in L$ tem uma forma sucinta descritível testemunha de acordo com $M$ . Formalmente, existe um polinômio $p$ dependendo da$M$ modo que para cada$x \in L$ , existe um circuito$C_x$ de tamanho$p(|x|)$ modo que a tabela verdade de$C_x$ seja uma sequência de opções não determinísticas para$M$ que levam à aceitação na entrada$x$ .

A sucessão das testemunhas é útil, porque você pode rederir diretamente muitos dos outros colapsos dela. Por exemplo, segue-se trivialmente que $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Por exemplo, suponha que $L$ é em $\textsf{NEXP}$ através de um $\textsf{NEXP}$ -máquinasferramentas $M$ . A propriedade de testemunha sucinta diz que há um polinômio $p$ para que $M$ tenha testemunhas sucintas do tamanho $p$ . Podemos então decidir $L$ em $\textsf{EXP}$ , na entrada $x$ , forçando com força bruta todos os circuitos de tamanho no máximo $p(|x|)$ e verificando se eles codificam uma sequência de opções que levam a$M$ aceitar na entrada$x$ . Você pode combinar isso com o resultado (anteriormente conhecido por provas interativas) que$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ para concluir$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Vale ressaltar que podemos escolher $M$ e, portanto, a forma das testemunhas. Por exemplo, você pode realmente concluir a partir de " $\textsf{NEXP}$ tem testemunhas sucintas universais" que $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Aqui o $\textsf{OMA}$ é "inconsciente-MA", significando que existe um Merlin honesto que depende apenas do comprimento da entrada. É fácil ver que $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ , basicamente, isso apenas fornece uma forma normal de como as linguagens $\textsf{NEXP}$ são computadas em $\textsf{P}/\textrm{poly}$ sob a suposição de que $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$em primeiro lugar. Aqui está uma maneira de ver o colapso do $\textsf{OMA}$ :

Para um idioma $L \in \mathsf{NEXP}$ decidido por uma máquina $M$ , construa uma máquina $\mathsf{NEXP}$$M'$ seguinte maneira. Veja a entrada de $n$ bits como um número $N$ entre $1$ e $2^n$ . Para cada $x$ de comprimento $n$ , suponha uma testemunha $w_x$ e execute $M(x,w_x)$ para verificá-la. $M'(N)$aceita se e somente se $M$ aceita pelo menos $N$ valores de $x$ . As suposições estão dispostas de tal forma que uma descrição sucinta de uma testemunha para $M'$ é um circuito $C$ que calcula o mapa $(x,i) \mapsto$ o $i$ -ésimo bit de $w_x$ . Agora, suponha que $N$ seja exatamente o número de cadeias de caracteres em $L$ no comprimento $n$ . Em seguida, testemunhas sucinto para $M'$ na entrada $N$ são circuitos que codificam simultaneamente todos de$M$ testemunhas 's para Length-$n$ entradas. Em particular, se$M'$ tem testemunhas sucintas, todas as testemunhas de$M$ ' podem ser descritas simultaneamente pelo mesmo circuito.

Para concluir a reivindicação, lembramos que $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$ . Permitindo que $M$ seja a máquina que adivinha o PCP e, em seguida, simula deterministicamente o verificador, o parágrafo acima nos diz a existência de PCPs simultaneamente descritos de forma sucinta para todos os idiomas do $\textsf{NEXP}$ . Portanto, agora para obter $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$ , Merlin envia a descrição sucinta dos PCPs para todas as entradas com o comprimento atual, que Arthur pode verificar apenas conectando sua entrada e executando o verificador PCP.

[Graças a Cody Murray por apontar o truque de utilizar a entrada para contar o número de cordas em $L$ . Anteriormente eu tinha $M'$ uso que se $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ , em seguida, $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ para anotar a tabela de verdade do $L$ , mas a estratégia de Cody é mais elegante.]

Como nota final, embora tecnicamente implícito em $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$ , o colapso $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ tem outra implicação interessante. É sabido que o $\textsf{PSPACE}$ possui uma linguagem completa, que é auto-redutível em baixa e auto-redutível aleatória. Normalmente, todos esses idiomas estão dentro do $\textsf{PSPACE}$ e, portanto, não devemos esperar dizer (incondicionalmente) que o $\textsf{NEXP}$ tem um idioma tão completo, desde que esperemos que o $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$ . No entanto, se $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$ , $\textsf{NEXP}$ nãotem esses idiomas completos. Uma afirmação semelhante (substituindo $\textsf{NEXP}$ por $\textsf{EXP}$ ) foi usada por Impagliazzo e Wigderson para concluir uma espécie de "dicotomia de des randomização" para $\textsf{BPP}$ em relação a $\textsf{EXP}$ , portanto, pode ser útil para descobrir outras consequências de $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ .