Quando o BPP com uma moeda tendenciosa é igual ao BPP padrão?

Permita que uma máquina de Turing probabilística tenha acesso a uma moeda injusta que aparece cara com probabilidade (os flips são independentes). Defina como a classe de idiomas reconhecíveis por essa máquina no tempo polinomial. É um exercício padrão para provar que: $p$ $BPP_p$

A) Se é racional ou mesmo -computable então . (Por -computable eu média: existe um algoritmo polinomial que está sendo alimentado ao acaso em retornos unárias whp o racionais binário com denominador que se encontra dentro de de .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Para alguns uncomputable a classe contém uma linguagem indecidible e, portanto, é maior do que . Tais valores de formam um conjunto denso em . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Minha pergunta é a seguinte: o que acontece no meio? Existe um critério para ? Em particular: $BPP_p=BPP$

1) Existem probabilidades incomputáveis em tal modo que ? (Eles podem ser computados em algumas classes mais altas). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) mais largo que para todos os computáveis ? (Os parâmetros em questão são aqueles cuja expansão binária contém seqüências muito longas de zeros e / ou uns. Nesse caso, a computação de bits por amostragem aleatória pode levar um tempo muito longo e até incômodo, e o problema não pode ser redimensionado para o tempo polinomial. Às vezes, o dificuldade pode ser superada por outra base de expansão, mas certos podem enganar todas as bases). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
fonte

O que exatamente você quer dizer com p ser (in) computável?

— Daniello

Eu adicionei a definição de

-computable. Para computável em geral, pode-se simplesmente soltar as palavras "polinômio aleatório" ou simplesmente dizer que a expansão binária é computável. (Com recursos limitados isso não é o mesmo.)

B P P

$BPP$

— Daniil Musatov

Penso que

para cada

computável, porque dada uma moeda com viés de

pode-se calcular o

ésimo bit de

por amostragem. Suponha que possamos calcular o

ésimo bit no tempo

, então o idioma que contém

para todos os

modo que o

'o bit de

seja

esteja em

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , mas claramente é incontestável.

— Daniello

Definitivamente, isso é verdade para a grande maioria das

. Mas há uma ressalva: se

contiver sequências muito longas de zeros e uns, pode ser necessária uma amostragem muito longa para determinar o

ésimo bit. Essa amostragem pode ser tão longa que

seria incontestável (como a função Busy Beavers). Também duvido que possa ser calculado com precisão a partir da própria amostragem. E parece que sem computar

não se pode reconhecer a linguagem mencionada.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Daniil Musatov

1) Sim, mas apenas por causa da sua definição. Pegue uma linguagem unária (sim, eu sei que isso pode estar vazio, nesse caso, basta pegar algo ainda maior que ), que é muito escasso no sentido de que se não é uma torre de , ou seja, da forma . Defina . Este não é $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ -computable, mas pode ser aproximada em -se a um erro aditivo suficientemente pequena que permite a simulação de um máquina. $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

Se você tivesse definido -computable de tal forma que você quiser aproximada -se a um erro aditivo de (em vez de ) em tempo polinomial, as coisas seriam diferentes. $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

Atualizar. A resposta abaixo é para o caso em que o erro aditivo que permitimos é vez de . $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) Sim, porque aqui você pode esquecer a restrição polinomial das classes e, amostrando vezes, pode obter o ésimo bit de em . $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— domotorp
fonte

2) Penso que o teorema do limite central sugere que se deve amostrar

, e não

, vezes para obter a precisão

. Mas o principal problema é que, às vezes, precisamos de uma precisão muito maior. Diga se

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

então é preciso

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

amostras para calcular ainda o primeiro dígito. E o número de amostras necessárias pode ser arbitrariamente, mesmo que de maneira incontestável, grande. O ponto é um pouco esclarecido na edição.

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

— Daniil Musatov 08/08/16

@ Daniil: Como já comentei a questão, você não pediu o cálculo dos dígitos em sua definição de

-computável. Portanto, se

é igual a, digamos,

, deve-se adivinhar

para o primeiro dígito após a vírgula, de acordo com a sua definição.

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

— domotorp 8/08/16

Agora estamos falando de

desconectável , não estamos? Se eu entendi direito, você sugere não calcular amostrando dígitos de

, mas sim calcular se o

ésimo dígito da aproximação racional binária

é 1. Mas aqui enfrentamos o mesmo problema: calcular o primeiro dígito, precisamos distinguir 0,010000000001 e 0,001111111110.

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

— Daniil Musatov

@ Daniil: OK, meu mal, eu pensei que você queria um racional binário cuja distância é no máximo

. Atualizei minha resposta de acordo. Você está feliz com a minha solução para 1)?

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$

— Domotorp 8/08