Avalie o circuito booleano em lotes de entradas semelhantes

Suponha que eu tenha um circuito booleano que calcule alguma função . Suponha que o circuito seja composto de portas AND, OR e NOT com entrada e saída de ventilador no máximo 2. $C$ $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Vamos ser um dado de entrada. Dados e , quero avaliar nas entradas que diferem de em uma única posição de bit, ou seja, para calcular os valores onde é o mesmo que exceto que seu $x \in \{0,1\}^n$ $C$ $x$ $C$ $n$ $x$ $n$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $x^i$ $x$ $i$ o bit é invertido.

Existe uma maneira de fazer isso que seja mais eficiente que avaliar independentemente vezes nas entradas diferentes? $C$ $n$ $n$

Suponha contém portões. A avaliação independente de em todas as entradas levará tempo . Existe uma maneira de calcular em tempo? $C$ $m$ $C$ $n$ $O(mn)$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $o(mn)$

Contexto opcional: se tivéssemos um circuito aritmético (cujas portas são multiplicação, adição e negação) sobre , seria possível calcular as derivadas direcionais $\mathbb{R}$ $n$ emo tempo. Basicamente, poderíamos usar métodos padrão para o cálculo do gradiente (retropropagação / regra da cadeia), emtempo. Isso funciona porque a função correspondente é contínua e diferenciável. Gostaria de saber se algo semelhante pode ser feito para circuitos booleanos. Os circuitos booleanos não são contínuos e diferenciáveis, então você não pode fazer o mesmo truque, mas talvez haja alguma outra técnica inteligente que se possa usar? Talvez algum tipo de truque de Fourier, ou algo assim? ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ $O(m)$ $O(m)$

(Pergunta variante: se tivermos portões booleanos com fan-in ilimitado e fan-out limitado, você pode se sair assintoticamente melhor do que avaliar vezes?) $C$ $n$

— DW
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Como Andrew respondeu muito bem à sua pergunta, deixarei um comentário. Se

for grande (como

) e você estiver avaliando

em muitas entradas (até

), haverá um

de tamanho apenas

que pode avaliar

em qualquer

m

$m$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

2^{o (n / \log n)}

$2^{o(n/\log n)}$

C^{'}

$C'$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

m

$m$ entradas. (O problema também é chamado de "produção em massa" na literatura.) Veja Uhlig, "Sobre a síntese de esquemas de autocorreção a partir de elementos funcionais com um pequeno número de elementos confiáveis". Math.Notes Acad.Sci. URSS 15, 558--562. Portanto, em alguns casos, você pode fazer melhor com a não uniformidade.

— Ryan Williams

Eu consideraria improvável que esse truque seja fácil de encontrar e / ou lhe traga ganhos significativos, pois daria algoritmos de satisfação não triviais. Aqui está como:

$C$ $N$ $x_0, \ldots, x_{N-1}$ $C$ $\tilde{O}(N\cdot|C|)$ $C$ $C'$ $|C| + \tilde{O}(Nn)$ $0^i10^{N-1-i}$ $C(x_{i})$ $0^i10^{N-1-i}$ $x_i$ $C$

$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ $\epsilon > 0$ $C$ $C$ $C'$ $2^{n/2}\cdot |C|$ $n/2$ $C$ $C'$ $2^{n/2}$ $C'$ $C$ $\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$

— Andrew Morgan
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