Motivação

Outro dia, eu estava viajando pela cidade com transporte público e criei um problema gráfico interessante, modelando o problema de encontrar a conexão de menor tempo entre dois lugares.

Todos conhecemos o clássico "Problema do caminho mais curto": Dado um gráfico direcionado com comprimentos de e dois vértices , encontre o caminho mais curto entre e (ou seja, o caminho que minimiza o comprimento total da aresta). Assumindo comprimentos de borda não negativos, existem vários algoritmos e o problema é fácil.w e ∈ R + 0$G=(V,E)$s , t ∈ V s $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$$s,t\in V$$s$$t$

Este é um bom modelo para o caso em que estamos caminhando, por exemplo. Os vértices são encruzilhadas em nossa rede de estradas e cada aresta tem comprimento fixo - em metros, por exemplo. Outra possível interpretação dos pesos das é o tempo que leva para irmos de um de seus vértices para o outro. Essa é a interpretação que me interessa agora.$w_e$

Problema

Agora quero modelar a seguinte situação. Quero viajar do ponto A ao ponto B em uma cidade através de transporte público e minimizar o tempo . A rede de transporte público pode ser facilmente modelada como um gráfico direcionado, como seria de esperar. A parte interessante são os pesos das arestas (o tempo do modelo) - o transporte público (ônibus, por exemplo) sai apenas em determinados intervalos, que são diferentes para cada parada (vértice no gráfico). Em outras palavras - os pesos das arestas não são constantes, eles mudam dependendo do tempo em que queremos usar a aresta.

Como modelar esta situação: Temos um gráfico direcionado e uma função de peso da aresta w : E × R + 0 → R + 0 que leva o tempo como argumento e retorna o tempo necessário para usar o método vantagem em nosso caminho. Por exemplo, se o barramento do vértice v para o vértice u sai em t = 10 e leva 5 vezes, chegamos ao vértice v em t = $G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$$v$$u$$t=10$$5$$v$$t=8$, então é o peso da borda. Claramente, w ( v u , 10 ) = 5 .$w(vu,8)=7$$w(vu,10)=5$

É um pouco complicado definir o peso total do caminho, mas podemos fazê-lo recursivamente. Seja um caminho direcionado. Se k = 1 então w ( P ) = 0 . Caso contrário, w ( P ) = w ( P ′ ) + w ( v k - 1 v k , w ( P ′ ) $P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$$k=1$$w(P)=0$$w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$, onde é o subcaminho de P sem v k . Esta é uma definição natural correspondente à situação do mundo real.$P'$$P$$v_k$

Agora podemos estudar o problema sob várias suposições sobre a função . A suposição natural é w ( e , t ) ≤ w ( e , t + Δ ) + Δ  para todos  e ∈ E , Δ ≥ 0 , que modela "aguardando o tempo Δ ".$w$

Se a função "se comportar bem", pode ser possível reduzir esse problema ao problema clássico de caminho mais curto. Mas poderíamos perguntar o que acontece quando as funções de peso ficam selvagens. E se deixarmos de lado a suposição de espera?

Questões

Minhas perguntas são as seguintes.

• Esse problema já foi perguntado antes? Parece meio natural.
• Existe alguma pesquisa sobre isso? Parece-me que existem vários subproblemas a serem solicitados e estudados - principalmente em relação às propriedades da função peso.
• Podemos reduzir esse problema (possivelmente sob algumas suposições) ao problema clássico de caminho mais curto?

$n^{\Theta(\log n)}$

O algoritmo de Dijkstra pode realmente ser usado para esse problema, quando a política de espera é imposta, ou seja, espera em um nó se isso reduzir o tempo final de chegada. Sem a política de espera, a situação é muito mais complicada: o caminho mais curto pode não ser simples, o subcaminho de um caminho mais curto pode não ser o mais curto entre os dois pontos finais do subcaminho, os caminhos que atravessam um número infinito de arestas podem ter um horário finito de chegada etc. Veja novamente o artigo de Orda e Rom para mais discussões.

Você está ciente do problema dos "caminhos mais curtos e não decrescentes"? Foi definido para modelar situações como essas. Embora seja um pouco menos expressivo em comparação com a sua formulação, existem algs rápidos para isso.

Se você presumir que os tempos são integrais (o que faz sentido no caso de transporte público), você pode criar uma rede de tempo expandido, semelhante à sugerida por Ford-Fulkerson para o fluxo máximo ao longo do tempo (ou fluxo mais rápido) e encontre o caminho mais curto neste gráfico.