Complexidade de acessibilidade em sistemas dinâmicos lineares em campos finitos

Seja $A$ uma matriz sobre o campo finito $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ e $x$ , $y$ sejam vetores do espaço $\mathbb{F}_2^n$ . Estou interessado na complexidade computacional de decidir se existe $t \in \mathbb{N}$ tal que $A^t x = y$ , ou seja, no problema de alcançabilidade de sistemas dinâmicos lineares sobre campos finitos.

O problema está claramente em $\mathbf{NP}$ (suposição $0 \le t < 2^n$ e calcule $A^t$ em tempo polinomial por quadratura repetida). Me e colegas também foram capazes de provar o $\mathbf{NP}$ -completeness do problema relacionado de estabelecer se existe $t \in \mathbb{N}$ tal que $A^t x \ge y$ , onde $\ge$ é desigualdade componente a componente.

Esse problema parece bastante natural, mas não pude encontrar referências a sua complexidade computacional na literatura, provavelmente porque não conheço a terminologia exata. Você sabe se o problema com a igualdade é $\mathbf{NP}$ completo ou se está realmente em $\mathbf{P}$ ?

Para maior clareza, generalizarei sua pergunta como sendo acima da característica (com o campo base F q ) em vez do caso específico de p = q = 2 . Vou levar p e q como uma constantes fixas; Vou deixar para o leitor descobrir qual é a dependência exata desses parâmetros, pois existem algumas trocas que podem ser feitas. O resultado final aqui é que seu problema é aproximadamente equivalente ao problema de log discreto para campos finitos da característica p .$p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

Para ser mais específico, deixe o problema de log discreto comum sobre extensões de , dado um campo de extensão F de F q , e a , b ∈ F , encontre qualquer número inteiro t para que a = b t , ou relate que não existe . Seja o forte problema de log discreto sobre extensões de F q , dado que F , a , b como antes, encontre inteiros z , m de modo que $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$ para um número inteiro t iffou relate que nãoexiste. Existem as seguintes reduções:$a = b^t$$t$$t = z \pmod{m}$$t$

• Há uma redução determinística no mapeamento das extensões de log discretas de para o seu problema.$\mathbb{F}_q$

• Existe um algoritmo determinístico eficiente que resolve seu problema quando recebe acesso a um oracle que computa o forte problema de log discreto sobre extensões de .$\mathbb{F}_q$

Assim, consideraria improvável que alguém publique uma prova de dureza ou uma prova de que seu problema está em em um futuro próximo.$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Observação: o forte problema de log discreto sobre as extensões de pode ser reduzido a Turing para a seguinte forma ostensivamente mais fraca (embora ainda pareça mais forte que o problema comum de log discreto): Dado um campo de extensão de e , encontre o menor número inteiro não negativo para que . Isso decorre do fato de que a ordem de é uma mais o menor não negativo, de modo que .F F q a,b∈ F ta= b t bt b - 1 = b $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$

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Primeira redução: a alegação é que o problema de log discreto comum nas extensões do mapeamento reduz a esse problema. Isto segue o fato de que a multiplicação em é uma transformação linear quando vemos como um espaço vetorial dimensional sobre . Portanto, uma pergunta do formato acima de se torna sobre , em que são vetores dimensionais e éF q n F q n n F q a= b t F q n → a = B t → e F q → a , → e nBn×n F q → a aBb → e 1∈ F q n p=q=2$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$matriz, em todo . O vector pode ser facilmente calculado a partir de , a partir de , e é apenas a representação de , que pode ser escrita de forma eficiente . Parece ainda ser um caso difícil do problema geral de log discreto, mesmo com (mas crescendo , é claro). Em particular, as pessoas ainda estão competindo para ver até onde podem calcular isso.$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$

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Segunda redução: a alegação é que seu problema se reduz ao forte problema de log discreto sobre extensões de . Essa redução tem alguns pedaços, então perdoe o comprimento. Deixe a entrada ser o -dimensional vectores e matriz , todo ; o objetivo é encontrar modo que . nx,yn×nA F q ty= A t$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

A idéia básica é escrever na forma canônica da Jordânia (JCF), a partir da qual podemos reduzir o teste ao forte problema de log discreto com alguma álgebra direta.y = A t$A$$y = A^tx$

Uma razão para usar uma forma canônica sob similaridade de matrizes é que, se , então . Por isso podemos transformar para , onde agora está em um formato mais agradável do que a muito arbitrária . O JCF é uma forma particularmente simples, que permite o restante do algoritmo. Então, de agora em diante, vamos supor que já está em JCF, mas também permitir que e pode ter entradas em um campo de extensão de .A t = P - 1 J t P y = A t x ( P y ) = J t ( P x ) J A A x , y , A F$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

Observação: existem algumas sutilezas que surgem do trabalho com o JCF. Especificamente, assumirei que podemos realizar operações de campo em qualquer extensão de (não importa o tamanho) em uma única etapa e que possamos calcular o JCF com eficiência. a priori , isso não é realista, porque trabalhar com o JCF pode exigir o trabalho em um campo de extensão (o campo de divisão do polinômio característico) de grau exponencial. No entanto, com algum cuidado, e usando o fato de estarmos trabalhando em um campo finito, podemos contornar esses problemas. Em particular, associaremos a cada bloco da Jordânia um campo de grau no máximo acima deF ′ n F q xy F ′ F ′ F$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ para que todas as entradas no bloco Jordan e os elementos correspondentes de , vivam dentro de . O campo pode diferir de bloco para bloco, mas o uso dessa `` representação mista' 'permite uma descrição eficiente do JCF, que além disso pode ser encontrada com eficiência. O algoritmo descrito no restante desta seção precisa trabalhar apenas com um bloco de cada vez, desde que faça suas operações de campo no campo associado , o algoritmo será eficiente. [observação final]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

O uso de JCF nos fornece equações da seguinte forma, com cada equação correspondente a um bloco de Jordan:

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

O algoritmo manipulará cada bloco separadamente. No caso geral, para cada bloco, teremos uma consulta para o nosso forte oráculo de log discreto, a partir do qual o oráculo nos dirá uma condição de modularidade, . Também obteremos um conjunto para que deva manter . Depois de processar todos os blocos, precisamos verificar se existe uma opção de que satisfaça as conjunções de todas essas condições. Isso pode ser feito, certificando-se há um elemento comum em todos os conjuntos de modo que as equações eS ⊆ { 0 , 1 , ⋯ , p - 1 } ⋁ s ∈ S [ t = $t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ t s S t = $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$t = z $t = s \pmod p$$t = z_j \pmod{m_j}$são todos satisfeitos simultaneamente, onde varia sobre os blocos.$j$

Também existem alguns casos especiais que surgem ao longo do procedimento. Nesses casos, obteremos condições do formato para algum valor de ou do formato para algum número inteiro específico , de certos blocos, ou talvez até descobrimos que nenhum pode existir . Eles podem ser incorporados à lógica do caso geral sem problemas.l t = s s $t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

Agora descrevemos o subprocedimento para lidar com cada bloco da Jordânia. Corrija esse bloco.

Comece concentrando-se apenas na última coordenada do bloco. A condição requer que . Em outras palavras, é uma instância do problema de log discreto em alguma extensão de campo de . Em seguida, usamos um oráculo para resolvê-lo, o que resulta em nenhuma solução ou fornece uma condição de modularidade em . Se "nenhuma solução" for retornada, retornaremos indicando tal. Caso contrário, obteremos uma condição , que é equivalente a .y k = λ t x k F q t t = $y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$y k = λ t x $t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

Para lidar com as outras coordenadas, começamos com a seguinte fórmula (veja, por exemplo, aqui ): xk=0yk=λtxkyk=0k-1xy(k-1)×(k-1)xk≠

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & lambda ^ t \ end {bmatrix } Primeiro, vamos cuidar do caso em que$x_k = 0$ . Como já temos a condição de modularidade que implica , podemos assumir que também. Mas então podemos apenas reduzir a focando os primeiros entradas de e , e na parte superior esquerda submatrix do bloco de Jordan. Então, a partir de agora, assuma que .$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$$x_k \ne 0$

Segundo, trataremos do caso em que . Nesse caso, os poderes do bloco da Jordânia têm uma forma especial e forçam para alguns , ou , sem outras condições. Não vou elaborar os casos, mas basta dizer que cada um pode ser verificado com eficiência. (Como alternativa, poderíamos reduzir para o caso em que é invertível; veja meu comentário sobre a questão.)t = z z ≤ k t > k $\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

Finalmente, chegamos ao caso geral. Como já temos a condição de modularidade que implica que , podemos assumir que a condição é válida e usar como de . De maneira mais geral, podemos usar para representar . Portanto, precisamos verificar se o seguinte sistema vale para alguma opção de : y k x - 1 k λ t y k x - 1 k λ - z λ t - z t [ Y 1 Y 2 Y 3 ⋮ y k - 1 y k ] = [ y k x - 1 k ($y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ y_kx_k ^ {- 1} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix} Observe que se a equação vale depende apenas de ; isso ocorre porque a dependência de é apenas polinomial, $t \pmod{p}$$t$$t$ deve ser um número inteiro e as equações acima estão sobre um campo da característica . Portanto, podemos apenas tentar cada valor de separadamente. O conjunto que retornaremos são apenas as opções de para as quais o sistema está satisfeito.$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

Portanto, agora, exceto em alguns casos especiais, o subprocedimento por bloco encontrou uma condição de modularidade e um conjunto para que um de deva manter por alguns . Essas condições são equivalentes a dentro desse bloco específico da Jordânia. Então, devolvemos isso do subprocedimento. Os casos especiais concluem que não existe (nesse caso o subprocedimento retorna imediatamente uma indicação disso), ou então temos uma condição de modularidade e alguma condição especial como para um número inteiro. , ou para algum número inteiro$t = a \pmod{m}$$S$$t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$ . De qualquer forma, todas as condições envolvidas são equivalentes a dentro desse bloco da Jordânia. Portanto, como mencionado acima, o subprocedimento apenas retorna essas condições.$y = A^tx$

Isso conclui a especificação do subprocedimento por bloco e do algoritmo como um todo. Sua correção e eficiência seguem a discussão anterior.

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Sutilezas com o uso do JCF na segunda redução: Conforme mencionado na segunda redução, existem algumas sutilezas que surgem do trabalho com o JCF. Existem algumas observações para mitigar esses problemas:

• Extensões de campos finitos são normais . Isto significa que, se é um um irredutível polinomial sobre , então qualquer extensão de contendo uma raiz de contém todas as raízes de . Em outras palavras, o campo de divisão de um polinômio irredutível de grau tem grau apenas acima de .$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• Existe uma generalização da forma canônica da Jordânia, chamada de forma canônica racional primária (PRCF), que não exige que as extensões de campo sejam anotadas. Em particular, se é uma matriz com entradas em , então podemos escrever para algumas matrizes com entradas em , onde, além disso, está no PRCF. Além disso, se fingirmos que as entradas moram em um campo estendendo que contém todos os autovalores de , então$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$$A$$Q$estará de fato no JCF. Assim, podemos ver a computação do JCF de como um caso especial de computação do PRCF.$A$

• Usando a forma do PRCF, podemos calcular o JCF de como$A$

  1. calculando o PRCF de over$A$$\mathbb{F}_q$

  2. computando o PRCF de cada bloco (emprestando a notação do artigo da Wikipedia) no PRCF de , sobre um campo de extensão , em que é escolhido para conter todos os autovalores de$C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  A principal vantagem dessa fatoração é que os polinômios característicos dos blocos serão irredutíveis e, portanto, pela nossa primeira observação, podemos escolher para ter o tamanho de (que é no máximo ) sobre . A desvantagem é que agora precisamos usar campos de extensão diferentes para representar cada bloco do JCF, para que a representação seja atípica e complicada.$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

Assim, dada a capacidade de calcular o PRCF com eficiência, podemos calcular com eficiência uma codificação adequada do JCF, e essa codificação é para que trabalhar com qualquer bloco específico do JCF possa ser feito dentro de um campo de extensão de grau no máximo acima .$n$$\mathbb{F}_n$

Quanto ao cálculo eficiente do PRCF, o artigo " A Rational Canonical Form Algorithm " (KR Matthews, Math. Bohemica 117 (1992) 315-324) fornece um algoritmo eficiente para calcular o PRCF quando a fatoração do polinômio característico de é conhecida . Para características fixas (como a nossa), fatorar polinômios univariados sobre campos finitos pode ser feito em tempo polinomial determinístico (consulte, por exemplo, " Em um novo algoritmo de fatoração para polinômios sobre campos finitos " (H. Niederreitter e R. Gottfert, Math. Computation 64 (1995) 347-353).), Para que o PRCF possa ser computado com eficiência.$A$