Mantendo o valor de um polinômio sobre uma entrada atualizada dinamicamente

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Seja um polinômio sobre um campo finito fixo. Suponha que recebamos o valor de em algum vetor e no vetor . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Agora queremos calcular o valor de em um vetor tal que e diferem em exatamente uma posição (em outras palavras, nós virar exatamente um bit em ). Quais são as compensações de espaço e tempo para esse problema? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Por exemplo, se é o número de monomios em , que pode armazenar os coeficientes e os valores de todos os monomios em . Se for invertido, fixamos o valor de cada monômio que contém o valor de usando as informações armazenadas. No geral, precisamos de tempo e espaço. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Não digo nada sobre como identificamos os monômeros que contêm para fins. Você pode escolher qualquer representação razoável de , no exemplo, presumo que armazenamos uma lista de monômios que contêm para cada .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

Existe coisa melhor?

polynomials dynamic-algorithms

— Tatiana Starikovskaya
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Sua idéia generaliza da seguinte maneira: dado um circuito algébrico (sobre o campo finito) ou circuito booleano (calculando a representação bit a bit de seus elementos de campo finito) calculando , em seguida, mantenha o valor em cada porta do circuito. Quando você altera o ésimo bit de , basta propagar essa alteração ao longo do DAG do circuito, iniciando na entrada . Se o circuito tem tamanho , este leva tempo e espaço. Isso pode ser muito menor que o número de monômios (que corresponde ao tamanho dos circuitos algébricos de profundidade apenas 2). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Joshua Grochow
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Não tenho certeza se isso foi intencional, mas o problema não diz que recebemos

, apenas

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Andrew Morgan

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@AndrewMorgan Depende da sua aplicação, para o meu é bom supor que y é dado. Obrigado pelo comentário!

— Tatiana Starikovskaya

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@ AndrewMorgan: De fato, embora isso seja tecnicamente verdadeiro, a maneira como a construção de exemplo no OQ foi formulada parecia implicitamente assumir que

é dado. Se

não for fornecido, acho que esse problema se torna muito mais difícil. (Tatiana, pode valer a pena acrescentar isso como um esclarecimento da questão.)

y

$y$

y

$y$

— Joshua Grochow

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É fácil modificar sua abordagem de armazenamento monomial para que cada atualização leve tempo apenas proporcional ao número de monômios alterados: basta atualizar o valor polinomial total adicionando o novo valor e subtraindo o valor antigo de cada monômio alterado.

Se você possui uma fórmula de leitura única para (ou seja, todas as variáveis aparecem em uma única folha da árvore de fórmulas e cada nó interno é uma operação aritmética de duas entradas, como mais ou vezes), você pode manter o valor de em logarítmica tempo por atualização usando uma árvore rake-compress sobre a fórmula. Aplicando essa abordagem a uma fórmula arbitrária, o tempo para atualizar uma variável que aparece vezes será que é o tamanho da fórmula. Portanto, exceto pelo fator de log, isso generaliza o limite para o número de monômios alterados e se aplica a tipos mais gerais de expansão do polinômio em uma fórmula. $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— David Eppstein
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