A complexidade temporal do algoritmo Bellman-Held-Karp para TSP, leva 2

Uma pergunta recente discutiu o agora clássico algoritmo de programação dinâmica para TSP, devido independentemente a Bellman e Held-Karp . O algoritmo é universalmente relatado para ser executado no tempo $O(2^n n^2)$ . No entanto, como um dos meus alunos apontou recentemente, esse tempo de execução pode exigir um modelo de computação irracionalmente poderoso.

Aqui está uma breve descrição do algoritmo. A entrada consiste em um gráfico direcionado $G=(V,E)$ com $n$ vértices e uma função de comprimento não negativo $\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$ . Para quaisquer vértices $s$ e $t$ , e qualquer subconjunto $X$ de vértices que exclui $s$ e $t$ , deixe $L(s,X,t)$ denotar o comprimento do caminho hamiltoniano mais curto de $s$ a $t$no subgrafo induzido $G[X\cup\{s,t\}]$ . O algoritmo Bellman-Held-Karp é baseado na seguinte recorrência (ou como economistas e teóricos do controle gostam de chamá-lo de "equação de Bellman"):

Para qualquer vértice , a duração do passeio ideal para o vendedor viajante é . Como o primeiro parâmetro s é constante em todas as chamadas recursivas, existem \ Theta (2 ^ nn) subproblemas diferentes e cada subproblema depende de no máximo n outros. Assim, o algoritmo de programação dinâmica é executado no tempo O (2 ^ nn ^ 2) .L ( s , V ∖ { s } , s ) s Θ ( 2 n n ) n O ( 2 $s$$L(s,V\setminus\{s\}, s)$$s$$\Theta(2^n n)$$n$$O(2^n n^2)$

Ou faz ?!

O modelo padrão de RAM inteira permite a manipulação em tempo constante de números inteiros com $O(\log n)$ bits, mas pelo menos para operações aritméticas e lógicas , números inteiros maiores devem ser divididos em blocos do tamanho de palavras. (Caso contrário, coisas estranhas podem acontecer.) Isso também não se aplica ao acesso a endereços de memória mais longos? Se um algoritmo usa espaço superpolinomial, é razoável supor que o acesso à memória exija apenas tempo constante?

Para o algoritmo Bellman-Held-Karp, em particular, o algoritmo deve transformar a descrição do subconjunto na descrição do subconjunto , para cada , para acessar a tabela de memorização. Se os subconjuntos são representados por números inteiros, esses números inteiros requerem bits e, portanto, não podem ser manipulados em tempo constante; se eles não são representados por números inteiros, sua representação não pode ser usada diretamente como um índice na tabela de memorização.$X$$X\setminus\{v\}$$v$$n$

Então: qual é o tempo real de execução assintótica do algoritmo Bellman-Held-Karp?

Isso é menos uma resposta matemática do que uma filosófica, mas eu prefiro pensar em um modelo de RAM que permita a manipulação em tempo constante de números inteiros com algum número B de bits que é desconhecido, mas pelo menos tão grande quanto o , onde S é a quantidade de espaço que o algoritmo requer. Porque, se os números inteiros não fossem tão grandes, como você poderia endereçar sua memória? Para algoritmos polinomiais de tempo e espaço, é o mesmo que O (log n) bits, mas para algoritmos de espaço exponencial, evita o problema.$\log_2 S$

Obviamente, se S exceder a quantidade de memória que você realmente possui, seu algoritmo não funcionará. Ou, ele será executado paginando as informações para dentro e para fora da memória e você deverá usar um modelo de hierarquia de memória em vez do modelo de RAM.

Há uma discussão sobre essa questão no livro recente de Fedor V. Fomin e Dieter Kratsch " Algoritmos exponenciais exatos ", onde eles especificam o tempo de execução no modelo de RAM de custo unitário e no modelo de RAM de custo de log ( - a distância máxima entre as cidades e f ( n ) = S * ( g ( n ) ) , se f ( n ) = o ( g ( n ) p o l y ( n ) ) ):$W$$f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$$f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

e 2 n logW n O ( 1 ) (observe, 2 n logW n O ( 1 ) ∉ O ∗ ( 2 n )), respectivamente.$\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$