Problemas completos de EXP vs algoritmos subexponenciais

O fato de um problema ser concluído no tempo EXP implica que não está em ? $A$ $A$ $DTIME(2^{o(n)})$

Estou ciente de que, pelo teorema da hierarquia temporal, não está incluído em . No entanto, isso não parece excluir imediatamente a existência de algoritmos de tempo subexponenciais para cada problema completo de EXP , pois ao reduzir uma instância de um problema $EXP=DTIME(2^{n^{O(1)}})$ $E=DTIME(2^{O(n)})$ $A$ $x$ $B\in EXP$ para uma instância y do problema , podemos ter um impacto polinomial em tamanho. Em outras palavras, . $A$ $|y|=|x|^{O(1)}$

Portanto, minha pergunta é se existe algum argumento que exclua, incondicionalmente, a existência de algoritmos de tempo subexponenciais para problemas completos de EXP.

exp-time-algorithms complexity

— verificando
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Pelo contrário, um argumento de preenchimento trivial mostra que para cada

, existem problemas de EXP-complete computáveis no tempo

ϵ > 0

$\epsilon>0$

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^\epsilon}$

— Emil Jerabek

@ EmilJeřábek Obrigado. Acho que seu comentário é a resposta que eu estava procurando. Você poderia expandi-lo para uma resposta?

— verificando

Devido à demanda popular, estou convertendo meu comentário em uma resposta.

Um argumento simples de preenchimento mostra que, para cada constante , existem problemas de EXP-complete em . De fato, corrija um problema arbitrário completo de EXP e assuma que ele é computável no tempo . Seja e considere o problema $\epsilon>0$ $\mathrm{DTIME}(2^{n^\epsilon})$ $L$ $2^{n^c}$ $d>c/\epsilon$ Por um lado,é polinomial em tempo

{eu}^{'} = {{0 0}^{m} # W : W \in eu, m \geq | W |^{d}} .

$L'=\left\{0^m\#w:w\in L,m\ge|w|^d\right\}.$

L

$L$

redutível a

através da função

, portanto

é EXP-difícil.

^{†}

${}^\dagger$

L^{'}

$L'$

w \mapsto 0^{| w |^{d}} # w

$w\mapsto0^{|w|^d}\#w$

L^{'}

$L'$

Por outro lado, é computável no tempo : dada uma entrada de tamanho , primeiro verificamos (em tempo polinomial) que ele tem a forma para , onde . Em seguida, verificar se , o que leva tempo $L'$ $2^{n^\epsilon}$ $n$ $0^m\#w$ $m\ge n'^d$ $n'=|w|$ $w\in L$ . $2^{n'^c}\le2^{m^{c/d}}\le2^{m^\epsilon}\le2^{n^\epsilon}$

Na verdade, a redução dada é uniforme e pode ser feita DLogTime se substituirmoscom um limite superior que é uma potência de dois. ${}^\dagger$ $\mathrm{AC}^0$ $|w|$

— Emil Jeřábek
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