Um problema multicortado

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Estou procurando um nome ou qualquer referência a esse problema.

Dado um gráfico ponderado, $G = (V, E, w)$ encontre uma partição dos vértices em até $n = |V|$ define $S_1,\ldots,S_n$ para maximizar o valor das arestas de corte:

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$ Observe que alguns dos conjuntos

S_{i}

$S_i$ podem estar vazios. Portanto, o problema é essencialmente o corte máximo de k, exceto que

k

$k$ não faz parte da entrada: o algoritmo pode escolher qualquer

k

$k$ quedesejar, de modo a maximizar o valor das arestas de corte. Obviamente, o problema é trivial se os pesos das arestas não forem negativos: basta colocar todos os vértices sozinhos em seu próprio conjunto e você cortará todas as arestas. Mas, para tornar as coisas interessantes, arestas de peso negativo são permitidas.

Esse é um problema estudado? Serão apreciadas referências a resultados algorítmicos ou de dureza!

— Aaron Roth
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+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

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O problema é uma variante de Correlation Clustering (CC) Bansal, N., Blum, A. e Chawla, S. (2004). "Clustering de correlação". Jornal de Aprendizado de Máquina (Edição Especial sobre Avanços Teóricos no Agrupamento de Dados, pp. 86-113, doi: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

Os PTASs descritos são baseados na técnica de programação polinomial suave: no caso mais geral, não acho que seu problema atenda aos requisitos da técnica.

— Gianluca Della Vedova
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Não conheço nenhuma referência, mas posso mostrar que é NP-completo, através de uma redução na coloração do gráfico.

Dado um gráfico G e um número k de cores com as quais colorir G, faça um novo gráfico G 'que consiste em G junto com k novos vértices, de modo que cada novo vértice seja conectado a todos os vértices em G. Atribua peso + kn a cada aresta de G, peso + kn para cada aresta conectando dois dos k novos vértices e peso -1 para cada uma das arestas conectando os k novos vértices a G.

Então, se G puder ser colorido em k, a coloração (junto com uma partição que atribui cada um dos novos vértices a uma das classes de cores) atinge o peso total kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) n.

Na outra direção, se você tiver uma partição que atinja esse peso total, deverá cortar todas as arestas de G e todas as arestas entre pares de novos vértices. Cortar todas as arestas de G define uma coloração de G, e arestas de corte entre pares de novos vértices implica que cada vértice de G pode ser adjacente a no máximo um dos k novos vértices. Portanto, para obter o termo ideal - (k-1) n no peso, cada vértice de G deve estar adjacente a exatamente um dos novos vértices e, portanto, só pode haver k classes de cores na coloração definida pelo partição.

Ou seja, partições com o limite de peso especificado estão em correspondência 1-1 com k-colorações de G, portanto, isso define uma redução da coloração para o problema da partição.

— David Eppstein
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Deixe-me complementar a boa prova de completude de NP de David, adicionando uma referência ao caso especial solicitado por Jukka em um comentário sobre a pergunta. Se o gráfico for o gráfico completo e os pesos das arestas forem restritos a ± 1, o problema será equivalente ao problema NP-complete, conhecido como Edição de Cluster.

A edição de cluster é o seguinte problema introduzido por Shamir, Sharan e Tsur [SST04]. Aqui, um gráfico de cluster é um gráfico que é uma união de cliques separados por vértices e uma edição é a adição ou a remoção de uma aresta.

Instância de edição de cluster : Um gráfico G = ( V , E ) e um número inteiro k ∈ℕ.
Pergunta : É possível transformar G em um gráfico de cluster no máximo em k edições?

A edição de cluster está completa com NP [SST04].

Para ver a Edição de Cluster é equivalente ao caso especial acima mencionado do problema atual, seja G = ( V , E ) um gráfico. Seja n = | V | e considere G como um subgráfico do gráfico completo K _n . Em K _n , dão o peso -1 para as bordas em L e o peso 1 para as extremidades não em G . Então G pode ser transformado em um gráfico de cluster por no máximo k edições, se e somente se existir uma partição ( S ₁ ,…, S _n ) tal que c ( S ₁ ,…,S _n ) ≥ - | E | - k para este gráfico completo ponderado K _n . $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan e Dekel Tsur. Problemas de modificação do gráfico de cluster. Matemática Aplicada Discreta , 144 (1–2): 173–182, novembro de 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Tsuyoshi Ito
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