Correspondência de padrões com não se importa: vários padrões

O artigo SODA de duas páginas da Kalai fornece um algoritmo simples e eficiente para a correspondência de padrões com não se preocupa (caracteres curinga que correspondem a um caractere). Em essência, é tão fácil quanto a convolução.

Mas o que acontece se estivermos procurando por vários padrões com não se importa? Ainda podemos de alguma forma resolvê-lo com, por exemplo, técnicas baseadas em FFT?

Para o caso de múltiplos padrões, parece que a simples varredura de cada uma delas pode ser a melhor solução possível, pelo menos a menos que a forte hipótese de tempo exponencial falhe.

Lembre-se de que, dado os conjuntos e T 1 , T 2 , … , T n sobre o universo [ m ] , se pudéssemos decidir se existem S i e T j tais que S i ∪ T j = [ m ] no tempo O ( n 2 - ε poli ( m ) $S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$$[m]$$S_i$$T_j$$S_i \cup T_j = [m]$$O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, então SETH falha, ou seja, temos um algoritmo CNF-SAT com tempo de execução .$O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$

Dados os conjuntos e T 1 , T 2 , … , T n , codificamos o problema acima como correspondência de vários padrões com não se preocupa com o alfabeto binário da seguinte maneira:$S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$

• O texto é Onde [ T I ] é a codificação natural de t i como uma cadeia binária. $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ $[T_i]$$T_i$
• Temos padrões de forma 1 ⟨ S i ⟩ 1 , onde ⟨ S i ⟩ é uma cadeia y = y 1 y 2 ... y m tal que y j = 1 se j ∉ S i e y j = * se j ∈ S i (aqui ∗ é o símbolo de não se importar).$n$$1\langle S_i \rangle 1$$\langle S_i \rangle$$y = y_1y_2\dots y_m$$y_j = 1$$j \notin S_i$$y_j = *$$j \in S_i$$*$

Agora é claro que um padrão pode coincidir com o texto em uma ocorrência de 1 [ T j ] 1 , e somente quando S i ∪ T j = [ m ] . O comprimento total dos padrões e o comprimento do texto são O ( n m ) , por exemplo, um algoritmo de passagem única quase linear para vários padrões daria melhorias substanciais em relação aos algoritmos CNF-SAT mais conhecidos ...$1\langle S_i \rangle 1$$1[T_j]1$$S_i \cup T_j = [m]$$O(nm)$

(Observe que isso não diz nada sobre algoritmos que usam muito tempo para pré-processar os padrões, digamos, quadráticos na duração total dos padrões.)