Caracterização de

É uma prova padrão em cursos de autômato que para e que não é uma linguagem livre de contexto. $L = \Sigma^\star$ $|\Sigma| \ge 2$ $S(L) = \{ww : w \in L\}$

Também é verdade que para qualquer finito , é finito (e, portanto, uma CFL). Eu estou supondo que sendo infinito e regular não é "suficiente" para não ser uma CFL. Edit : e quanto a não-CFL ? $L$ $S(L)$ $L$ $S(L)$ $L$

Existe alguma caracterização do que tem não sendo uma CFL? $L$ $S(L)$

context-free

— Ryan
fonte

Se bem entendi, a questão é decidir, dada uma linguagem regular

, se

é livre de contexto ou não.

L

$L$

S (L)

$S(L)$

— J.-E.

1. Você pode nos dizer mais sobre que tipo de caracterização você está procurando? Você está procurando um algoritmo que, dado

, decida se

é livre de contexto? Você está procurando algumas condições em

que sejam suficientes para garantir que

seja livre de contexto? Que forma você gostaria que uma caracterização levasse? 2. Se você não obtiver respostas após alguns dias e preferir ver isso no CSTheory.SE, sinta-se à vontade para sinalizá-lo para obter atenção do moderador e solicitar a migração.

L

$L$

S (L)

$S(L)$

L

$L$

S (L)

$S(L)$

— DW

@DW 1. Seria bom, mas eu preferiria condições suficientes. 2. Obrigado pela dica!

— Ryan

@ Ryan apenas condições suficientes? Bem, aqui são um par: (a) L é regular e para cada

(b), L é CF e para todos os

ou é vazio ou igual a

. Definitivamente, estes não são necessários. Se você não obtiver respostas aqui, mova a pergunta para cstory. Estou realmente curioso sobre as condições necessárias e suficientes!

w

$w$

L

$L$

w = w^{R}

$w = w^R$

n

$n$

L \cap Σ^{n}

$L \cap \Sigma^{n}$

Σ^{n}

$\Sigma^{n}$

— Aelguindy 30/10

infinito e regular de fato não é suficiente para

não CF. Se

então

L

$L$

S (L)

$S(L)$

Σ = {a, b, c}, L = a^{*}

$\Sigma = \{a,b,c\},L = a^*$

que é regular, consequentemente, CF.

S (L) = (a a)^{*}

$S(L) = (aa)^*$

— chi

Mais um comentário estendido com uma conjectura, mas aqui está uma condição que parece capturar o problema, no contexto de regular para ser livre de contexto. $L$ $S(L)$

Condição No mínimo DFA para , qualquer caminho de aceitação contém no máximo um loop. $A$ $L$

Exceção: dois loops são permitidos se seus rótulos e o rótulo do prefixo antes do primeiro loop comutarem e o sufixo após o segundo loop estiver vazio. Por exemplo, está ok. $aa^*b(aa)^*$

Lembre-se de que duas palavras e comutadas se forem potências da mesma palavra . Podemos assumir o sufixo vazio, porque ele não pode estar vazio e comutar com o rótulo do segundo loop em um DFA. $u$ $v$ $t$

Suficiente assumir a condição, você constrói um PDA para tratando cada padrão aceitar de , onde rotula um loop simples. Queremos aceitar palavras da forma . Lemos , pressionamos um símbolo para cada ocorrência de $L$ $xuy$ $A$ $u$ $xu^nyxu^ny$ $x$ , lemos , depois exibimos um símbolo para cada ocorrência de e, finalmente, lemos . $u$ $yx$ $u$ $y$

Sobre a exceção, se estivermos neste caso, um caminho básico de aceitação é da forma que são os rótulos dos loops. Aceitamos palavras da forma , mas, por suposição ( comutar), é a mesma que , que pode ser feito por um PDA: push $xuyv$ $u,v$ $xu^n y v^m xu^n y v^m$ $x,u,v$ $u^nxyu^n v^mxyv^m$ $n$ vezes (para ocorrências de ), leia , pop vezes, pressione vezes (para ), leia , pop vezes. $u$ $xy$ $n$ $m$ $v$ $xy$ $m$

O PDA final é a união dos PDAs para cada padrão.

Necessário (ondulação manual) Se houver um caminho com dois loops, mesmo no caso mais simples em que você deve pegar um e depois o outro (por exemplo, ), lembre-se de quantas vezes cada um é seguido, mas a estrutura da pilha impede que você os repita na mesma ordem. Observe que o fato de o DFA ser mínimo é importante na caracterização, para evitar o uso de dois loops quando um for suficiente. $a^*b^*$

Por enquanto, a parte necessária é apenas uma conjectura, e mais exceções podem ser necessárias para obter a condição exata. Eu estaria interessado em contra-exemplos.

— Denis
fonte

"e, em seguida, lendo w novamente, exibindo um símbolo para cada loop feito na segunda ocorrência da palavra" - mas existem infinitamente muitos desses

! A menos que esteja lendo seu argumento incorretamente.

w

$w$

— Ryan

@ Ryan, o número de "padrões" xuy onde u rotula um loop é finito, para que possamos adivinhar qual deles estamos lendo.

— Denis

Eu editei para esclarecer esta parte.

— Denis

A condição se parece comigo a outra que eu tinha em mente: S (L) é livre de contexto se não existirem palavras

, de modo que

não sejam o prefixo um do outro e

u, v, w_{1}, w_{2}

$u,v,w_1,w_2$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

u (w_{1} + w_{2})^{*} v \subseteq L

$u(w_1+w_2)^*v \subseteq L$

— Holf

@holf seu não parecem trabalhar para

a^{*} b^{*}

$a^*b^*$

— Denis