TSP euclidiano em NP e complexidade de raiz quadrada

Nas notas de aula de Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , diz-se que não sabemos se o TSP euclidiano está em NP:

A razão é que não sabemos como calcular raízes quadradas com eficiência.

Por outro lado, há este artigo de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 dizendo que é NP-completo, o que também significa que está em NP. Embora ele não prove isso no jornal, acho que ele considera a participação no NP trivial, como geralmente ocorre com esses problemas.

Eu estou confusa com isso. Honestamente, a alegação de que não sabemos se o TSP Euclidiano está em NP me chocou, já que eu apenas assumi que é trivial - tomando o tour pelo TSP como um certificado, podemos verificar facilmente se é um tour válido. Mas o problema é que pode haver algumas raízes quadradas. Portanto, as notas da palestra afirmam basicamente que não podemos, em tempo polinomial, resolver o seguinte problema:

Dado o número racional , decida se .$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Pergunta 1: O que sabemos sobre esse problema?

Isso implora a seguinte simplificação, que não consegui encontrar:

Pergunta 2: Isso é redutível ao caso especial quando ? Esse caso especial pode ser resolvido em tempo polinomial?$n=1$

Pensando nisso por um tempo, cheguei a isso. Queremos complexidade de tempo polinomial com relação ao número de bits da entrada, ou seja, não ao tamanho dos próprios números. Podemos facilmente calcular a soma para um número polinomial de dígitos decimais. Para obter um caso incorreto, precisamos de uma instância de para tais que para cada polinômio , existe um número inteiro tal que e concordam com os primeiros dígitos de expansão decimal. k = 1 , 2 , … p k $q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$ Akp(tamanho da entrada$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Pergunta 3: Existe um exemplo de número reacional?

Mas o que é ? Isso depende da maneira como os números racionais são representados! Agora estou curioso sobre isso:$\text{input-size}$

Pergunta 4: É algoritmicamente importante se o número racional for dado como uma razão de dois números inteiros (como ) ou na expansão decimal (como )? Em outras palavras, existe uma família de números racionais de tal modo que o tamanho da expansão decimal não seja polinomialmente limitado no tamanho da representação da razão ou o contrário?$24/13$$2.5334\overline{567}$

Q1 Este é um notório problema em aberto. É conhecido por estar no quarto nível da hierarquia de contagem , devido a [ABKM] . Não é conhecido por estar em NP. O problema não está na computação das raízes quadradas, conforme reivindicado nas notas da aula: bits de uma raiz quadrada de um número inteiro podem ser calculados no polinômio do tempo em e no tamanho de bits do número inteiro. O problema é, sim, quão perto a soma das raízes quadradas de números inteiros pode chegar a um número inteiro, sem realmente ser integral.$n$$n$

Q2 O caso é obviamente fácil. É o mesmo que , que está no tempo polinomial, porque o quadrado de um número racional está no tempo polinomial.$n=1$$q \le A^2$

Q3 De acordo com esta página , o melhor que se sabe é que existem números inteiros , todos entre e , de forma que . Esse é um limite inferior de no número de bits necessários para serem computados para o problema potencialmente mais difícil que permite coeficientes negativos. O melhor limite superior do número de bits é exponencial em .$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$Ω(2klogN)$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Eu acho que a representação decimal pode ser bastante ineficiente. A duração do período é a ordem multiplicativa de 10 módulos do denominador, que pode ser exponencial no número de bits do denominador.

Você escreveu:

Por outro lado, há este artigo de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 dizendo que é NP-completo, o que também significa que está em NP. Embora ele não prove isso no jornal, acho que ele considera a participação no NP trivial, como geralmente ocorre com esses problemas.

Por que você simplesmente não lê o jornal, em vez de postar tais alegações sem sentido? Na página 239, Papadimitriou discute cuidadosamente esses problemas e define a variante subjacente da métrica euclidiana para sua prova.