Por que esse procedimento de eliminação de corte termina (caso de contração)?

Na pesquisa de Melliès, Semântica categórica da lógica linear , é dado um procedimento de eliminação de corte para a lógica linear intuicionista, que inclui o seguinte caso:

3.9.3 Promoção x contração
A prova é transformado em prova $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ UMA}}{! Γ ⊢! UMA} Promoção \frac{\frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! UMA,! UMA, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! UMA, Υ_{2} ⊢ B} Contração}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cortar$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B}}{\Upsilon_1 , !A , \Upsilon_2 \vdash B} \text{ Contraction} }{ \Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut}$ $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ UMA}}{! Γ ⊢! UMA} Promoção \frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ UMA}}{! Γ ⊢! UMA} Promoção \frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! UMA,! UMA, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! UMA,! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cortar}{\frac{Υ_{1},! Γ,! Γ, Υ_{2} ⊢ B}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Série de Contrações e Trocas} Cortar$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B} }{ \Upsilon_1 , !A , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut} }{ \displaystyle\frac{\Upsilon_1 , !\Gamma , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B}{\Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B} \rlap{\;\text{ Series of Contractions and Exchanges}} } \text{ Cut}$

Por que este é um passo indutivo válido? Nem o tamanho da fórmula de corte nem o tamanho das derivações estão diminuindo. (Na prova transformada, o ramo direito do corte inferior é potencialmente maior após a eliminação indutiva do corte superior.) Portanto, não está claro por que esse procedimento deve terminar.

linear-logic

— Sebastien Zany
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Acabei de dar uma olhada rápida e faz muito tempo que não li esse formalismo, mas tive a impressão de que o objetivo aqui é remover o corte após uma Promoção versus Contração. Nesse caso, a transformação funciona, pois todas as contrações estão agora sob o corte, de modo que os cortes sobem na árvore de derivação e são eliminados indutivamente.

— Holf

O problema é que, na prova transformada, o ramo direito do corte inferior é potencialmente maior após a eliminação indutiva do corte superior. (Irá adicionar isso no esclarecimento.)

— Sebastien Zany

Sim, mas o número de contrações foi reduzido em um. Tanto quanto eu posso dizer (novamente, eu não entrei muito em detalhes), nenhuma outra transformação aumenta o número de contrações. Portanto, se você observar o valor (#contraction, seja o que for que você precisa para o_reste), esse valor sempre diminui na ordem lexicográfica e, portanto, termina em algum momento.

— Holf

Além do que holf e Neel disseram, uma variação do argumento usual (grau, classificação) não funciona? Quero dizer, qual é a diferença entre este passo e a eliminação usual de um corte em uma contração em LJ? (Quero dizer, cálculo de sequentes intuitionistic de Gentzen)

— Damiano Mazza

Mas como você elimina o corte B? A única coisa que parece que você pode fazer no caso de corte de promoção é trocar as posições dos dois cortes A e B. Mas então, você acaba exatamente na mesma situação. Se você eliminar B (que é agora acima), você pode aumentar o número de contrações acima A.

— Jérôme Fortier

Estendo o que escrevi como comentário. Como há um grande número de casos na prova, apenas dou uma idéia do motivo pelo qual essa transformação termina. A resposta curta é:

No caso de promoção versus contração, após a transformação, o número de contrações na parte da prova que contém cortes diminuiu em um.

Para detalhar um pouco mais, eu diria que você se enganou porque achou que o número de cortes ou o tamanho da prova deveriam diminuir para garantir a rescisão. No entanto, a rescisão pode ser comprovada observando outros parâmetros da prova.

Se você quiser provar a rescisão, precisará mostrar apenas que cada regra será aplicada por um número finito de tempo. Você pode provar que a promoção da regra de transformação versus contração será aplicada no máximo m vezes, em que m é o número de contrações na sua prova inicial. Para provar isso, basta observar que nenhuma regra introduz uma nova contração na árvore de provas. E este diminui o número de contração em um. Você pode fazer esse truque para qualquer outra regra "promotion vs sthg" para provar que essa será aplicada apenas um número finito de tempo.

— holf
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