A complexidade de Kolmogorov das tabelas da verdade do problema da parada é conhecida assintoticamente?


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Vamos HALTn denotar a cadeia de comprimento 2n correspondente à tabela verdade do problema de parada para entradas de comprimento n .

Se a sequência das complexidades de Kolmogorov K(HALTn) fosse O(1) , uma das sequências de aconselhamento seria usada infinitamente com frequência, e uma TM com essa sequência codificada seria capaz de resolver HALT uniformemente infinitamente, o que sabemos que não é o caso.

Uma inspeção mais detalhada do argumento da diagonalização mostra que K(HALTn) é pelo menos nω(1) ; portanto, junto com o limite superior trivial, temos:

nω(1)K(HALTn)2n+O(1)

Esse limite inferior é observado na introdução de um artigo recente de Fortnow e Santhanam `` Novos limites inferiores não uniformes para classes de complexidade uniformes '' , e eles o atribuem ao folclore. Basicamente, se a sequência de recomendações for menor que o comprimento da entrada, ainda poderemos diagonalizar as máquinas com, no máximo, essa quantidade de recomendações.

(Edit: Na verdade, em uma versão anterior do artigo que eles atribuíram ao folclore, acho que agora eles dizem que é apenas uma adaptação de Hartmanis e Stearns.)

t


2n2ϵn2ϵn2ϵnP=BPP

Em vez disso, perguntar sobre K(HALTn) não tem nenhum desses aplicativos, mas pode ser mais fácil resolvê-lo. Também é mais fácil declarar, sem qualquer dependência de um parâmetro com limite de tempo - é um problema natural que já pode ter sido estudado.

Existem limites inferiores ou superiores melhores em K(HALTn) conhecidos além do resultado do `` folclore ''? Os limites inferior ou superior estão bem apertados?


Nota: Há outro post interessante sobre a complexidade do circuito do problema de parada, que pode ser visto como quase máximo por um argumento esboçado por Emil Jerabek aqui: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -do-problema-de-parar

ENPNPHALT

K(HALTn)HALTHALTHALT2n2n

K(HALTn)

Ou existe um limite superior melhor que eu perdi?

DTIMEK(HALTn), não há tempo limite, portanto, talvez tenhamos `` a mesma '' quantidade de tempo que o adversário e não devemos esperar que seja maximamente incompressível. No entanto, a diagonalização também funciona na configuração irrestrita - parece que para qualquer máquina, existe uma máquina que faz a mesma coisa que ela e depois faz outra coisa; portanto, sempre há alguém que tem mais tempo do que você. Então, talvez o adversário sempre tenha mais tempo do que nós, afinal ...

Respostas:


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Hmm, acontece que na verdade há um limite superior correspondente que não é muito difícil:

HALTnn2nn

Então, acho que o argumento do folclore é apertado aqui. Nós temos

nω(1)K(HALTn)n+O(1)

K(HALTn)O(1)

nn

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