Teorema de Adleman sobre infinitos semirings?

Adleman demonstrou, em 1978, que $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ : se uma função booleana de variáveis pode ser calculado por um circuito booleano probabilística de tamanho , em seguida, pode também ser calculado por um circuito booleano determinista de tamanho polinômio em e ; na verdade, do tamanho . $f$ $n$ $M$ $f$ $M$ $n$ $O(nM)$

Pergunta geral: Sobre quais outras semi-séries (que não sejam booleanas) são válidas ? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Para ser um pouco mais específico, um circuito probabilístico em um semiring usa suas operações de "adição" e "multiplicação '' como portas As entradas são variáveis de entrada e possivelmente algum número de variáveis aleatórias adicionais, que assumem os valores e independentemente com probabilidade ; aqui e são, respectivamente, as identidades aditiva e multiplicativa da semicondução Esse circuito calcula uma dada função $\mathsf{C}$ $(S,+,\cdot,0,1)$ $(+)$ $(\cdot)$ $x_1,\ldots,x_n$ $0$ $1$ $1/2$ $0$ $1$ $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ se para cada , . $x\in S^n$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

A função de votação de variáveis é uma função parcial cujo valor é se o elemento aparecer mais de vezes entre e é indefinido , se esse elemento existir. Uma aplicação simples dos limites de Chernoff e da união produz o seguinte. $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $y$ $y$ $m/2$ $y_1,\ldots,y_m$ $y$

Truque de Maioria: Se um circuito probabilístico calcula uma função em um conjunto finito , então existem realizações de tal que $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ $X\subseteq S^n$ $m=O(\log|X|)$ $C_1,\ldots,C_m$ $\mathsf{C}$ é válido para todos os . $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$ $x\in X$

Durante o semicondutor booleano, a função de votação é a função majoritária e possui circuitos pequenos (mesmo monótonos). Então, o teorema de Adleman segue tomando $\mathrm{Maj}$ . $X=\{0,1\}^n$

Mas e quanto a outras semirrings (especialmente infinitas)? E o semicondutor aritmético (com adição e multiplicação usuais)? $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

Pergunta 1: Does domínio sobre o semiring aritmética? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Apesar de eu apostar em "sim", não posso mostrar isso.

Nota: Estou ciente deste papel , onde os autores afirmam sobre o campo reais . Eles lidam com circuitos aritméticos não monótonos e também chegam (no Teorema 4) a circuitos com a função de votação como uma porta de saída. Mas como simular essa porta por um circuito aritmético (seja monótono ou não)? Ou seja, como obter o seu corolário 3? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ $\mathrm{Maj}$ $\mathrm{Maj}$

Na verdade, o argumento simples a seguir me contado por Sergey Gashkov (da Universidade de Moscou) parece mostrar que isso é impossível (pelo menos para circuitos capazes de calcular apenas polinômios ). Suponha que possamos expressar como um polinômio . Então $\mathrm{Maj}(x,y,z)$ $f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ implica , implica , e implica . Isso ocorre porque, sobre campos de característica zero, igualdade de funções polinomiais significa igualdade de coeficientes. Observe que na pergunta 1, a faixa de circuitos probabilísticos e, portanto, o domínio do $f(x,x,z)=x$ $c=0$ $f(x,y,x)=x$ $b=0$ $f(x,y,y)=y$ $a=0$ porta- éinfinita. Portanto, tenho a impressão de que o artigo vinculado lida apenas com funções aritméticas de computação de circuitos com pequenos intervalos finitos , comoé realmente fácil de calcular por um circuito aritmético. Mas e se ? $\mathrm{Maj}$ $f:\mathbb{R}^n\to Y$ $Y$ . Então $Y=\{0,1\}$ $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$ $Y=\mathbb{R}$

Correção [6.03.2017]: Pascal Koiran (um dos autores deste artigo) apontou para mim que o modelo deles é mais poderoso do que apenas circuitos aritméticos: eles permitem portas de sinal (saída

dependendo de a entrada ser negativa). não). Portanto, a função de votação Maj pode ser simulada neste modelo, e retiro minha "confusão".

0

$0$

1

$1$

No contexto da programação dinâmica, é especialmente interessante a mesma pergunta para semirrubas tropicais min-plus e max-plus e $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$ . $(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

Pergunta 2: Does domínio sobre semirings tropicais? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Retido nestes dois semirings, isso significaria que a aleatoriedade não pode velocidade até os chamados "puros" algoritmos de programação dinâmica! Esses algoritmos usam apenas as operações Min / Max e Sum em suas recursões; Bellman-Ford, Floyd-Warshall, Held-Karp e muitos outros algoritmos de DP proeminentessãopuros. $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Até o momento, só posso responder à pergunta 2 (afirmativamente) no cenário de erro unilateral , quando exigimos adicionalmente durante o semiring min-plus (minimização) ou $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$ sobre a semiring max-plus (maximização). Ou seja, agora exigimos que o circuito tropical aleatório nunca possa produzir um valor melhor que o ótimo; pode, no entanto, errar ao fornecer alguns valores piores que os ótimos. Minhas perguntas estão, no entanto, no cenário de erro nos dois lados .

PS [adicionado em 27.02.2017]: Aqui está minha tentativa de responder à pergunta 1 (afirmativamente). A idéia é combinar uma versão mais simples da "Nullstellensatz combinatória" com uma estimativa para o problema de Zarankiewicz para hipergraps de n-partidos, devido a Erdos e Spencer. Módulo este último resultado, todo o argumento é elementar.

Observe que a pergunta 2 ainda permanece em aberto: o "Nullstellensatz" ingênuo (pelo menos na forma que eu usei) não se aplica aos semirriscos tropicais.

— Stasys
fonte

nit: BPP é uma classe uniforme definida usando PTMs e não circuitos.

— 25417 Kaveh

@ Kaveh: sim, nesse sentido, o resultado da Adleman é ainda mais forte, vale para o BPP / poli.

— Stasys 26/02

Não vejo como o argumento simples mostra impossibilidade ... parece mostrar que os coeficientes dos monômios x, ye z devem ser zero ... o que estou perdendo? Além disso, se um polinômio não pode computar Maj, de que outra forma você pode representar uma computação em um semicondutor? (O que mais, além de um polinômio sobre a semirrigação?) Intuitivamente, sobre um domínio infinito, cada restrição em algum y (reforçando que em> m / 2 y você deve gerar y) parece "independente" dos outros (nenhum subconjunto de restrições implica outro), então parece que nenhum polinômio "finito" poderia satisfazer as infinitas restrições independentes.

— Ryan Williams

@ Ryan: sim, isso mostra apenas f = Maj implica h = Maj. Mas h tem grau> 1, então h (x, x, z) = x é impossível. E você está certo: os circuitos sobre semirrecursos não podem computar mais nada como polinômios. Portanto, eles não podem calcular o Maj. Mas os autores desse artigo lidam com circuitos {+, x, -, /}, com todas as operações de campo permitidas. Talvez Maj ainda possa ser calculado de alguma forma? No entanto, em vez de tentar simular o próprio Maj, é possível responder ao primeiro e ao segundo trimestres mostrando que um Maj-gate não pode diminuir substancialmente o tamanho do circuito (o que é bastante plausível).

— Stasys 27/02

@Ryan: PS Igor Sergeev observou que Maj "poderia" ser provável computável sobre (R, +, x, -, /). Por exemplo, Maj (x, y, z) é computável por f (x, y, z) = (xy + xz-2yz) / (2x-yz) para todas as entradas com | {x, y, z} | = 2. Observe que o argumento simples acima implica que, já em tais entradas, isso não pode ser feito novamente (R, +, x, -). Então, a divisão pode ajudar. Mas nos deparamos com a divisão por 0 questão ...

— Stasys

Esta é apenas uma resposta parcial à sua pergunta geral (não tenho certeza de qual seria uma formulação totalmente geral), mas sugere que trabalhar em semirings infinitas suficientemente agradáveis enquanto restringe a aleatoriedade a um domínio finito pode realmente banalizar a questão de saber se O teorema de Adleman é válido.

Suponha que você esteja trabalhando com os números complexos , para que os circuitos computem polinômios sobre esse campo e suponha que a função seja ela própria calculada por algum polinômio (por mais complicado que seja) das variáveis . Acontece que já para algum fixo , . A razão é que, para cada , o conjunto de com determina um subconjunto fechado de Zariski de $\mathbb{C}$ $f$ $x$ $r$ $C(x,r) = f(x)$ $r$ $x$ $C(x,r) = f(x)$ , e assim devem ser todas de , ou então um subconjunto de medida nula. Se todos esses conjuntos tivessem a medida zero, então, porque há apenasfinitosem consideração, o conjunto deondetambém teria a medida zero. Por outro lado, o pressuposto de quecalculaimplica esse esse conjunto deve ser tudo de , por isso não pode ter medida zero. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$ $r$ $x$ $\exists r : C(x,r) = f(x)$ $C$ $f$ $\mathbb{C}^n$

— Andrew Morgan
fonte

Interessante. De um modo mais geral, um circuito probabilístico de tamanho M é uma variável aleatória C que assume seus valores no conjunto de todos os circuitos (desse tipo) com no máximo M portas. [Entre aquele artigo de Cucker no final. permite que C seja distribuído arbitrariamente. O "truque da maioria" ainda funciona.] Posso concluir a partir do seu argumento que, se o intervalo de C for finito, o teorema de Adleman é trivial quando os subconjuntos fechados por Zarinski são triviais (conjuntos próprios) ou têm medida zero? Temos esse efeito "tudo ou nada" em semirrescimentos tropicais? (Estou interessado principalmente em-los.)

— Stasys

Não sei como ou se o argumento se generalizaria para outras semirrugas, desculpe. Uma coisa principal que está faltando (para mim) é a intuição geométrica semelhante à forma como "polinômios que discordam" se traduz em "subconjuntos zero-medida de

". Para os semi-lírios tropicais, em particular, as operações parecem tão diferentes dos polinômios comuns que é difícil adivinhar qual deve ser a adaptação apropriada.

C^{n}

$\mathbb{C}^n$

— Andrew Morgan