fundo
Sabe-se que existe um oráculo tal que, .
É sabido até que a separação se aplica a um oráculo aleatório. Informalmente, pode-se interpretar isto para dizer que há muitas oráculos para os quais e são separados.
Questão
Como complicado são estes oráculos que separam a partir de . Em particular, existe um oráculo tal que ?
Temos algum oráculo tal que e tenham um limite superior de complexidade conhecido?
Nota: a existência de tal oráculo pode ter ramificações na teoria da complexidade estrutural. Consulte a seguinte atualização abaixo para obter mais detalhes.
Atualizar com detalhes sobre uma técnica de limite inferior
Reivindicação: Se , então para todos os oráculos Um ∈ P / p o l y , P S P A C E A = P H A .
Esboço prova: Suponha-se que .
Seja dado um oráculo . Podemos construir uma máquina de Turing M de oráculo de tempo polinomial Σ 2 que, para um determinado comprimento n , adivinha um circuito de tamanho p ( n ) usando uma quantificação existencial e verifica se o circuito decide A comparando a avaliação do circuito e o resultado da consulta para cada comprimento n string usando uma quantificação universal.
Além disso, considere um problema de decisão ao qual estou me referindo como circuito booleano quantificado (QBC), no qual você recebe um circuito booleano quantificado e deseja saber se ele é válido (semelhante ao QBF). Esse problema está completo no PSPACE porque o QBF está completo no PSPACE.
Por hipótese, segue-se que QBC . Digamos Q B C ∈ Σ k para alguns k suficientemente grandes. Let N denotar um tempo polinomial Σ k máquina de Turing que resolve QBC.
Podemos misturam o cálculo de e N (semelhante ao que é feito na prova do teorema Karp-Lipton) para obter um tempo polinomial Σ k máquina do Oracle Turing que resolve Q B C A .
Informalmente, essa nova máquina recebe como entrada um QBC da Oracle (ou seja, um QBC com portas da Oracle). Em seguida, calcula um circuito que calcula nas entradas de comprimento n (disparando simultaneamente os dois primeiros quantificadores). Em seguida, ele substitui os portões Oracle no QBC oráculo com o circuito para um . Finalmente, procede-se a aplicar o restante do tempo polinomial Σ k algoritmo para resolver Q B C neste exemplo modificado.
Agora, podemos mostrar o limite inferior condicional.
Corolário: Se existe um oráculo tal que P S P A C E UM ≠ P H A , em seguida, N E X P ⊈ P / p o l y .
Esboço prova: Suponha-se que existe tal que P S P A C E UM ≠ P H Uma . Se N E X P ⊆ P / p o l y , teríamos uma contradição.
Em particular, se , em seguida, pela reivindicação acima temos P S P A C E ≠ P H . No entanto, sabe-se que N E X P ⊆ P / p o l y implica que P S P A C E = P H .
(veja aqui alguns detalhes sobre resultados conhecidos para P / poli)