Relação quadrática entre espaço não determinístico e determinístico?

O teorema de Savitch mostra que para todas as funções suficientemente grandes , e provar que isso é restrito tem sido um problema aberto por décadas .$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

Suponha que abordemos o problema do outro lado. Para simplificar, assuma o alfabeto booleano. A quantidade de espaço usada por uma TM para decidir uma linguagem computável geralmente está intimamente relacionada ao logaritmo do número de estados usados ​​pelo autômato que simula a TM para cada fatia regular de um idioma. Isso motiva a seguinte pergunta.

Seja o número de sintaticamente distintos com n estados e N_n seja o número de NFAs distintos com n estados. É simples mostrar que \ lg N_n está próximo de (\ lg D_n) ^ 2 . n N n n lg N n ( lg D n ) $D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Além disso, seja $D_n'$ o número de idiomas regulares distintos que podem ser reconhecidos por um DFA com $n$ estados e $N_n'$ seja o número reconhecido por um NFA.

Sabe-se se $\lg N_n'$ está próximo de $(\lg D_n')^2$ ?

Não está claro para mim como $D_n$ e $D_n'$ , ou $N_n$ e $N_n'$ , estão relacionados entre si ou com que proximidade. Se tudo isso estiver relacionado a uma questão bem conhecida na teoria dos autômatos, uma dica ou ponteiro seria apreciado. A mesma pergunta também é relevante para os autômatos bidirecionais, devido ao mesmo raciocínio, e estou especialmente interessado nesta versão.

No meu artigo com Domaratzki e Kisman, "Sobre o número de línguas distintas aceitas por autômatos finitos com n estados" publicado em J. Automata, Languages ​​e Combinatorics 7 (2002), provamos que se é o número de distintas idiomas aceitos pelos NFAs com estados sobre um alfabeto de letras , e é similarmente o número de idiomas distintos aceitos pelos DFAs, depois para fixo$G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) é, em termos de ordem menor, assintoticamente$\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) é, em termos de ordem menor, assintoticamente entre e .$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$