Quais jogos 2P1R são potencialmente nítidos?

Jogos de uma rodada com dois provadores (2P1R) são uma ferramenta essencial para a dureza da aproximação. Especificamente, a repetição paralela de jogos de uma rodada com dois provadores oferece uma maneira de aumentar o tamanho de uma lacuna na versão de decisão de um problema de aproximação. Veja a palestra de pesquisa de Ran Raz no CCC 2010 para uma visão geral do assunto.

A repetição paralela de um jogo tem a propriedade surpreendente de que, embora um verificador aleatório opere de forma independente, os dois jogadores podem jogar de maneira não independente para alcançar um sucesso melhor do que jogar cada jogo de forma independente. A quantidade de sucesso é delimitada acima pelo teorema da repetição paralela de Raz:

Teorema : Existe uma constante universal modo que, para cada jogo 2P1R com o valor e tamanho da resposta , o valor do jogo de repetição paralela é no máximo .G 1 - ϵ s G n ( 1 - ϵ c ) Ω ( n / s $c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

Aqui está um resumo do trabalho de identificação dessa constante :$c$

• O artigo original de Raz prova .$c \leq 32$
• Holenstein melhorou isso para .$c \leq 3$
• Rao mostrou que é suficiente (e a dependência de é removida) para o caso especial de jogos de projeção.$c' \leq 2$$s$
• Raz deu uma estratégia para o jogo de ciclo ímpar que mostrou que o resultado de Rao é acentuado para jogos de projeção.

Por esse corpo de trabalho, sabemos . Minhas duas perguntas são as seguintes:$2 \leq c\leq 3$

Pergunta 1: Os especialistas nesta área têm um consenso quanto ao valor exato de ?$c$

Se se pensa que , existem jogos específicos que não são projetivos, mas também violam especificamente as propriedades extras dos jogos de projeção exigidos pela prova de Rao.$c > 2$

Pergunta 2: Se , quais jogos interessantes violam a estratégia de Rao e têm potencial para ser exemplos nítidos?$c > 2$

Pela minha própria leitura, parece que a propriedade mais importante dos jogos de projeção que Rao usa é que uma boa estratégia para repetição paralela não usaria muitas das respostas possíveis para certas perguntas. De alguma forma, isso está relacionado à localidade dos jogos de projeção.

Costumo acreditar que c = 3 é a resposta certa para o caso geral e que deve ser possível dar um exemplo. Vou ter que pensar mais sobre isso para ter certeza. É uma boa pergunta e não conheço nenhum trabalho existente sobre isso.

Pesquisas recentemente focadas em quais tipos de jogos têm (melhor possível) c = 1, principalmente por causa de possíveis aplicações para amplificação de jogos exclusivos.

• Barak et al generalizaram o contra-exemplo de Raz para todos os jogos únicos com lacunas no SDP.
• Raz e Rosen mostraram que, para expandir os jogos de projeção, c = 1. Há também resultados anteriores de um superconjunto desses autores para jogos gratuitos.

Para fazer as coisas acontecerem, eu tenho um jogo em potencial e gostaria de receber feedback.

Seja um número inteiro e um número inteiro pelo menos com . O jogo de ciclo-potência é o jogo 2P1R, onde os provadores tentam convencer o verificador de que o gráfico é colorável. Aqui, é o gráfico com vértices dadas por inteiros módulo com bordas se o mo- distância é no máximo . Se houver uma cor de , ela deverá ser dada escolhendo uma ordem de e colorindo os númerosm 3 k + $k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$$\{0,\dots,m-1\}$ nesta ordem, uma vez que cada conjunto de inteiros seqüenciais em forma um clique. Como não é um múltiplo de , haverá um ponto em que essa coloração falhará.$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

O verificador pede um único vértice de ambos os jogadores, para verificar se as cores coincidem, ou pede uma aresta para verificar se as cores são diferentes.

Eu acredito que este é um bom exemplo por duas razões:

1. É bastante semelhante ao jogo do ciclo ímpar que uma estratégia pode ser construída semelhante ao limite inferior de Raz. Uma parte importante dessa estratégia é escolher cores aleatoriamente nas repetições, usando aleatoriedade compartilhada.

2. Ao aleatorizar as permutações usadas nos corantes gerados aleatoriamente, o número de respostas dadas em cada vértice abrange toda a resposta definida de maneira uniforme, atacando a estratégia de Rao.

Este jogo já foi considerado / resolvido?