Distribuir uma relação binária em posições, de modo que cada elemento esteja em um pequeno número de posições

Nos são dados pares de objetos (digamos, números). Cada objeto aparece no máximo em $q$ pares. Nosso objetivo é distribuir os pares em compartimentos de tamanho igual, de modo que cada objeto ocorra com o menor número possível de compartimentos diferentes.

Mais precisamente, estamos interessados em uma função $f$ com a propriedade de que, para cada relação binária com $m$ pares com no máximo $q$ pares por objeto, há uma distribuição dos pares para $p$ bins, de modo que cada bin receba $m/p$ pares ( $p$ deve dividir $m$ ) e nenhum objeto ocorre em mais de $f(m,q,p)$ posições.

Essa pergunta surgiu em nossa pesquisa sobre avaliação de consultas paralelas. Pode-se esperar que $m$ seja grande comparado a $p$ . O tamanho "certo" de $q$ é menos claro. Um tamanho interessante para $q$ pode ser, por exemplo, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . Uma função que não depende de $q$ , mas funciona apenas para um determinado intervalo de $q$ também seria útil (mas não $q=O(1)$ ).

Na verdade, estamos atrás dos limites da forma $p^{1-\epsilon}$ , com $\epsilon>0$ o maior possível ...

combinatorics

— Thomas S
fonte

Na terminologia do gráfico: dado um número inteiro

e um gráfico

com

arestas, com cada vértice com grau no máximo

, encontre

subgrafos

onde

, de tal modo que

, e

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

Está certo. Em termos de gráficos. A resposta para a pergunta é: . De fato, como descrito acima, estamos interessados nos limites da forma e não temos esse limite para .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Um caso especial para começar: Seja um número inteiro ímpar. É possível particionar arestas do gráfico completo em subconjuntos de tamanho modo que, para cada vértice, o número de subconjuntos que contenham arestas incidentes nesse vértice seja , para alguns ? Aposto que sim para qualquer --- pegue subconjuntos de vértices aleatórios de tamanho cada. Então, com alta probabilidade, cada vértice está em cerca de dos subconjuntos de vértices, e cada par está em aproximadamente

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ dos subconjuntos. Agora atribuir os pares para subconjuntos ...

— Neal Young

Nesse caso, os nós podem ser distribuídos primeiro em conjuntos de tamanho (pense em intervalos). Então, cada compartimento obtém o produto de dois desses conjuntos (estou considerando o gráfico direcionado completo, que é mais fácil de declarar e assintoticamente não muito diferente). Portanto, cada vértice ocorre nos compartimentos , ou seja, nesse caso.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Para o gráfico em estrela ( arestas incidentes em um vértice ), o vértice deve estar em cada um dos subgráficos ; portanto, nesse caso, um limite menor que não é possível. Eu acho que é por isso que você restringe o grau máximo ? Talvez você possa dizer algo mais definitivo sobre isso, pois parece ser uma suposição crucial. Enquanto isso, deixei uma observação (não uma resposta, mas grande demais para caber como comentário!) Como resposta abaixo.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Esta não é uma resposta. É apenas a observação um tanto trivial que WLOG você pode relaxar a exigência de que haja exatamente subconjuntos ponta exatamente do mesmo tamanho, e em vez disso basta olhar para qualquer número de subconjuntos de ponta de de tamanho . Talvez isso ajude a pensar sobre o problema. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Corrija qualquer gráfico e o número inteiro . Vamos $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lema. Suponha que existam subgráficos tais que particione em (qualquer número de) partes do tamanho . Seja seja o número máximo de partes em que qualquer vértice está. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Então existem subgrafos tal que particiona em exatamente partes de cada tamanho, no máximo e $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Prova. Começando com a sequência , substitua cada parte na sequência por qualquer sequência ordenada das arestas contidas nessa parte. Seja a sequência resultante (uma permutação de tal que cada parte seja algum "intervalo" de arestas em a sequência). Agora particionar esta sequência em subsequências contíguos de tal modo que cada excepto o último tem tamanho , e deixar conter as bordas do th subsequência contígua. (Então $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ para .) $i<p$

Por suposição, cada parte possui tamanho e, por design, cada parte exceto a última parte possui tamanho , portanto (devido à maneira como é definido) as arestas em qualquer peça estão divididos em partes em . Isso e a suposição de que cada vértice ocorre no máximo das partes em implica que cada vértice ocorre no máximo das partes em . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
fonte