Hierarquias de tempo no DSPACE (O (s (n)))

O teorema da hierarquia de tempo afirma que as máquinas de turing podem resolver mais problemas se tiverem (bastante) mais tempo. Isso vale de alguma forma se o espaço é limitado assintoticamente? Como relaciona com se cresce rápido o suficiente? $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ $\frac{f}{g}$

Estou interessado especialmente no caso em que , e . $s(n) = n$ $g(n) = n^3$ $f(n) = 2^n$

Em particular, considerei o seguinte idioma: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

No entanto, pode ser decidido em etapas usando . $L_k$ $n^3$ $(k+1)n \in O(n)$

Sem limitar a quatro símbolos de fita e, assim, permitir comprimir células em células, obtemos problemas de espaço ao simular um com muitos símbolos de fita. Nesse caso, o idioma não está mais em . O mesmo acontece ao definir para alguns que podem ser calculados com rapidez suficiente. $M$ $O(n)$ $n$ $M$ $\text{DSPACE}(O(n))$ $k = h(|w|)$ $h$

Esta questão é basicamente uma reformulação da minha pergunta aqui .

Resumo de edição: Alterado para , no entanto, acho vale a pena pensar também no cruzamento. $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$

— Henning
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Awesome question !! Também é bastante interessante observar DTISP (g (n), s (n)) vs DTISP (f (n), s (n)) se crescer rápido o suficiente. DTISP (g (n), s (n)) representa idiomas que podem ser resolvidos por um único algoritmo que é executado no máximo g (n) tempo usando o espaço s (n) enquanto DTIME (g (n)) DSPACE ( s (n)) representa idiomas com dois algoritmos em que um algoritmo é executado em g (n) tempo e o outro algoritmo é executado no espaço s (n).

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— 22717 Michael Wehar

Opa ... Na verdade, eu escrevi D-SPACE (O (s (n))) - TIME (g (n)) primeiro, mas não gostei da aparência do que o MathJax criou com isso, então mudei rapidamente para DSPACE (O (s (n))) TI DTIME (g (n)) sem pensar muito sobre isso. Minha pergunta inicial é sobre o que escrevi primeiro, mas a interseção DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) também é muito interessante - fico feliz por ter cometido esse erro. Claramente DTISP (g (n), s (n)) ⊆ DTIME (g (n)) ∩ DSPACE (s (n)). Esta é uma inclusão adequada? De acordo com a wikipedia, sua propriedade é desconhecida para DTISP (P, PolyL) ⊆ DTIME (P) ∩ DSPACE (PolyL): wikiwand.com/en/SC_(complexity)

— Henning

Legal!! Obrigado pelo seu esclarecimento. Estou realmente interessado nesses tipos de problemas. :)

— Michael Wehar

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$ . Portanto, seu segundo caso é trivial.

— precisa saber é o seguinte

Vale ressaltar que uma hierarquia de tempo para uma quantidade fixa de espaço pode ser obtida para máquinas de Turing com fitas para fixo usando argumentos semelhantes aos de Hopcroft-Paul-Valiant e hierarquias de tempo apertado para máquinas de fita . Veja, por exemplo, WJ Paul. `On hierarquias de tempo 'em STOC'77

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Sam McGuire

Este é um problema aberto: está aberto se (ou mesmo ). Sabemos apenas que . $\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

No entanto, sob conjecturas plausíveis de complexidade computacional, existe uma hierarquia adequada. Por exemplo, se para cada , CIRCUIT-SAT ∉ io- , então onde , é , e é tempo-espaço constructible. $ε>0$ $O(2^{n-ε})$ $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

Em particular (sob a hipótese), a existência de uma atribuição satisfatória para circuitos com entradas e tamanho serve como um contra-exemplo à igualdade das classes. $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ $(\log f)^{O(1)}$

Notas:

CIRCUIT-SAT é pelo menos tão difícil quanto SAT (que é usado na hipótese de tempo exponencial forte). $k$
Por convenção, em CIRCUIT-SAT, é o número de fios de entrada; o tamanho do circuito é . $n$ $n^{O(1)}$
Se a suposição usada CIRCUIT-SAT para tamanhos de circuito quase-lineares, o limite em pode ser relaxado para . Além disso, suposições mais fracas / mais fortes sobre a dureza do CIRCUIT-SAT fornecem hierarquias mais fracas / mais fortes (que atualmente podemos provar). $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
io significa infinitamente frequentemente e pode ser descartado para que, em certo sentido, são contínuos (incluindo ). $f$ $f(n)=n^a$
Parece provável que a hierarquia do DTISP seja nítida o suficiente para distinguir de (e talvez ) (quando não for muito grande em relação ao espaço permitido). $O(f)$ $o(f/\log f)$ $o(f)$ $f$
Para distinguir de , precisamos apenas da suposição mais fraca P ≠ PSPACE. $n^a$ $2^n$

— Dmytro Taranovsky
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