variante do SAT Crítico

O idioma Critical SAT é definido como o conjunto de fórmulas booleanas tal modo que mas remover qualquer cláusula de torna satisfatório. Sabe-se que o Critical SAT é completo. Gostaria de saber sobre a seguinte variante: dada uma fórmula , é o caso de estar em e de que existe alguma cláusula tal que (em vez de todas as cláusulas, existe uma cláusula) . Essa variante de também está completa? $CNF$ $f$ $f \in UNSAT$ $f$ $DP$ $CNF$ $f$ $f$ $UNSAT$ $c$ $f \setminus c \in SAT$ $DP$

cc.complexity-theory complexity-classes boolean-functions

— John
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É claro que seu idioma está no DP. Para mostrar que é difícil para o DP, reduziremos o SAT-UNSAT para o seu idioma, que podemos chamar de CRIT-UNSAT. Dado um par de CNFs , sejam variáveis novas e Aqui significa adicionar a todas as cláusulas de . $(f,g)$ $x,y$

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \neg x \land (x \lor \neg y) .

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y).$

f \lor \neg x

$f \lor \lnot x$

\neg x

$\lnot x$

f

$f$

Suponha primeiro que seja satisfatório não seja satisfatório. Como não é satisfatório, não é satisfatório. Como é satisfatório, é satisfatório. Assim, está em CRIT-SAT. $f$ $g$ $g$ $h$ $f$ $h \setminus \lnot x$ $h$

Por outro lado, suponha que esteja em CRIT-SAT. Como é insatisfatório, é insatisfatório. Para alguma cláusula , é satisfatório. Se então claramente ainda é insatisfatório. Da mesma forma, se então ainda é insatisfatório, devido a . Se ou , ainda é insatisfatório, devido a . Assim, , o que significa que $h$ $h$ $g$ $c$ $h \setminus c$ $c \in f \lor \lnot x$ $h \setminus c$ $c \in g \lor x$ $h \setminus c$ $g \lor y$ $c \in g \lor y$ $c = x \lor \lnot y$ $h \setminus c$ $g \lor x$ $c = \lnot x$ $h|_{x=1}$ é satisfatório, isto é, é satisfatório. $f$

— Yuval Filmus
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Para evitar duplicação, você não pode simplesmente criar a segunda instância de em novas variáveis?

g

$g$

— Joshua Grochow 01/08/19

Que análise de caso?

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore Podemos tentar por exemplo. Se é uma instância de SAT-UNSAT, então é insatisfatório e se torna satisfatório se removermos . Na outra direção, se é insatisfatório, então é insatisfatório. Temos que verificar se existe agora uma maneira de "trapacear" - para torná-lo satisfatório removendo , por exemplo. Na verdade, isso não vai ajudar. Mas tivemos que verificar mais um caso.

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \neg x \land (x \lor \neg y)

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y)$

(f, g)

$(f,g)$

h

$h$

\neg x

$\lnot x$

h

$h$

g

$g$

x \lor \neg y

$x \lor \lnot y$

— Yuval Filmus

Eu pensei que o que Josué disse é , onde parece com mas com variáveis ativadas.

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g^{'} \lor x) \land \neg x

$h=(f\lor \lnot x)\land(g \lor x)\land(g'\lor x)\land\lnot x$

g^{'}

$g'$

g

$g$

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore Certo, isso seria uma prova mais simples.

— Yuval Filmus