Visão geral de alto nível do método de aproximação de Razborov

Qual é o método de aproximação de Razborov? Alguém pode dar uma visão geral de alto nível e a intuição por trás disso?

Seja uma função booleana em bits. Seja . Deixe ser um circuito em n bits e de tamanho e portões . também denota a função em bits calculada pelo subcircuito com como o último gate. Os primeiros portões são para a entrada . O objetivo é mostrar que do tamanho não pode calcular . Considere todos os cálculos de nas entradas den Z = f - 1 ( 0 ) ⊆ 2 N C m g 1 , ... , g m g i n g i n x 1 , ... , x n C m F C Z B P ( Z $f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$. Uma computação atribui valores às saídas dos portões. Seja a álgebra booleana de .$B$$P(Z)$

A ideia é a de considerar para qualquer função em -bits quão bem ele se aproxima on . Deixe .n f Z | | g | | = { w ∈ Z ∣ g ( w ) ≠ 0 $g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Para um ultrafiltro , podemos definir um novo cálculo por ultraproduto a partir dele: iff . Como um ultrafiltro é essencialmente um conjunto de cálculos consistentes para valores 0, resultante é um cálculo válido. Segue-se que . Criamos um novo cálculo a partir dos já existentes. Uma vez que todos ultrafiltros sobre conjuntos finitos são principais . Isso funciona para qualquer circuito, não exploramos o fato de que o circuito é do tamanho .c ( g i ) = 0 | | g i | | ∉ F c f ( c 1 , … , c n ) = 0 c 1 , … , c n ∈ Z $F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

A próxima idéia é agora a explorar a finitude do circuito para construir uma nova entrada que está fora e , mas o circuito não aviso devido ao seu tamanho limitado e, portanto, ainda gera 0. Portanto, não faz computação .f ( w ) ≠ 0 $Z$$f(w) \neq 0$$f$

Precisamos relaxar a definição de ultrafilter para que possamos obter uma fora entrada . No lugar dos ultrafiltros, usamos subconjuntos fechados de ( e implica ) que preservam os encontros ( implica ).B a ∈ F a ⊆ b b ∈ F a , b ∈ F a ∩ b ∈ $Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

Seja . é o conjunto de entradas consistentes com . Se é primo ( implica ou ) e não é completo ( ), então para cada , contém oue contém apenas uma única entrada.W F F F um ∪ b ∈ F um ∈ F b ∈ F ∅ ∉ F i F | | $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$| | ¬ x i | | W $||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

Vamos relaxar a preservação dos encontros. No lugar de todos os encontros da álgebra booleana, preservaremos um pequeno número deles. Letser o menor número de satisfaz de tal modo que para todos ascendente-fechado, nonfull, -preserving , .k M = ( a 1 ∩ b 1 , … , a k ∩ b k ) M F W F ⊆ $|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

Seja a complexidade do circuito de . Razborov provou que .f $m$$f$$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

Observe que essa desigualdade vale para todas as funções. Para provar que um tamanho do circuito limite inferior mostram que para todos -Atende , existe um que satisfaz as condições, mas a sua não está contido em . Além disso, qualquer limite inferior do circuito forte pode ser comprovado por esse método devido à segunda desigualdade.m M F W F$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

A parte real de um circuito prova de limite inferior é o de mostrar que para uma dada , para qualquer -Atende existe um tal . No caso de circuitos monótonos, a condição sobre simplifica para portanto, criar é mais fácil.m F W F w i ≠ 0 → | | x i | | ∈ F $m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

Alexander Razborov, sobre o método de aproximação, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, sobre como provar limites mais baixos para o tamanho do circuito, 1995.

Tim Gowers, método de aproximação de Razborov, 2009. pdf

Isenção de responsabilidade : Esta é apenas uma visão geral de alto nível destinada a dar alguma intuição aos métodos usados ​​no artigo recente de Blum.

Tentarei usar uma notação mais próxima do que é usado no documento acima mencionado.

Seja uma função booleana em variáveis . Suponha que desejemos provar que qualquer computação de rede booleana tem tamanho grande.n x 1 , … , x n$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

Dada alguma computação booleana rede em seu nó de saída, considere o seguinte processo.$\beta$$f$

1. Ordene os portões em acordo com alguma ordem topológica que o último nó é o nó de saída.g 1 , g 2 , … , g $\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. Para cada passo , aproximaremos a função calculada no gate por uma função “simples” . Essa aproximação pode alterar as funções calculadas nos nós a jusante de (em particular, a função no nó de saída pode ter sido alterada).g t f g t g t g $t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

No final deste processo, teremos aproximado a função calculada em por uma função simples .f g $g_m$$f_{g_m}$

Em seguida, construa um grupo de entradas de teste .$T\subseteq \{0,1\}^n$

Suponha que possamos provar as seguintes declarações:

• A aproximação de cada nó individual é boa (ou seja, no máximo muitos erros são introduzidos nas entradas de em cada etapa de aproximação).$e$$T$
• Não simples aproxima função bem (ou seja, para qualquer função simples , temos em mais de uma -fraction de ).f g m f g m ≠ f d $f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

Então, simplesmente contando o número de erros que obtemos que deve ter pelo menos muitos portões.d | T $\beta$$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

Se esse esquema de aproximação funcionar para qualquer rede calcule a função , chegamos a um limite inferior para a complexidade do circuito de .f $\beta$$f$$f$