Exemplo demonstrando a potência de circuitos não determinísticos

Um circuito booleano não determinístico possui, além das entradas ordinárias , um conjunto de entradas "não determinísticas" . Um circuito não determinístico aceita a entrada se existir modo que a saída do circuito esteja ligada . Análoga a (a classe de linguagens decidíveis por circuitos polinomiais de tamanho), pode ser definida como a classe de linguagens decidível por circuitos não determinísticos de tamanho polinomial. Acredita-se amplamente que os circuitos não determinísticos são mais poderosos que os circuitos determinísticos, em particular $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ $NP/poly$ $NP \subset P/poly$ implica que a hierarquia polinomial entra em colapso.

Existe um exemplo explícito (e incondicional) na literatura mostrando que os circuitos não determinísticos são mais poderosos que os circuitos determinísticos?

Em particular, você conhece uma família de funções computável por circuitos não determinísticos de tamanho , mas não computável por circuitos determinísticos de tamanho ? $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— Gustav Nordh
fonte

Eu não acho que essa família seja conhecida. Aqui está um artigo recente estudando circuitos não-deterministas: arxiv.org/abs/1504.06731 Eu me lembro que antes de publicar o jornal Hiroki fez uma pergunta semelhante aqui

— Alexander S. Kulikov

Obrigado. Suponho que a pergunta a que você se refere é esta: cstheory.stackexchange.com/q/25736, que está relacionada, mas solicita limites inferiores na complexidade do circuito não determinístico.

— 27417 Gustav Nordh

Uma propriedade importante dos circuitos não determinísticos é que eles sempre podem ser transformados em circuitos de profundidade 2 equivalentes adicionando mais entradas não determinísticas, usando as mesmas idéias da redução do CircuitSAT para o SAT. Em particular, isso significa que os circuitos não determinísticos de profundidade 2 podem calcular a paridade de n bits no tamanho polinomial, enquanto os circuitos determinísticos de paridade computacional de profundidade 2 devem ser do tamanho 2 ^ n-1.

— Ou Meir

Bom ponto! Especialmente em relação ao resultado de Hiroki mencionado acima, a complexidade não-determinística da paridade é 3 (n-1), que é igual à complexidade determinística da paridade.

— 31417 Gustav Nordh

O caso das fórmulas DeMorgan é semelhante aos circuitos de profundidade 2 mencionados acima. As fórmulas DeMorgan não determinísticas podem calcular a paridade de n bits em tamanho linear, usando idéias semelhantes aos circuitos de profundidade 2, enquanto as fórmulas DeMorgan determinísticas precisam de tamanho quadrático pelo teorema de Khrapchenko.

— Hiroki Morizumi

Se este problema não tiver progresso, eu tenho uma resposta.

Eu também considerei esse problema desde meu artigo sobre o COCOON'15 (antes da sua pergunta).

Agora, eu tenho uma estratégia de prova, e ela imediatamente fornece o seguinte teorema: Existe uma função booleana tal que a complexidade não determinística de -circuito de seja no máximo e a complexidade determinística de -circuito de é . $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

Peço desculpas por não ter escrito o jornal. O esboço de prova abaixo pode ser suficiente para explicar minha estratégia de prova. Pretendo escrever o artigo com mais resultados dentro do prazo do STACS (1º de outubro).

[Esboço de prova]

Seja . $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

A prova determinística do limite inferior é baseada em um método padrão de eliminação de gate com uma pequena modificação.

A prova do limite superior não determinístico é uma construção desse circuito não determinístico.

Construa um circuito de computação . (O número de portas é .) $Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
Construa um circuito selecionando entradas não deterministicamente. (O número de portas é .) $\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
Combine os dois circuitos.

— Hiroki Morizumi
fonte

Algo está errado com os limites. A complexidade não determinística não pode ser maior que a complexidade determinística.

— Emil Jeřábek apoia Monica

Obrigado pela sua resposta, exatamente o que eu estava procurando!

— Gustav Nordh 10/09