A diferença de integralidade é um indicador útil de quão bem um IP pode ser aproximado. Talvez seja melhor pensar nisso de uma maneira informal e intuitiva. Uma lacuna de alta integralidade implica que certos métodos não funcionam. Certos métodos primários / duplos, por exemplo, dependem de uma pequena lacuna de integralidade. Para o LP padrão Verl Cover, o LP duplo pede uma correspondência máxima. Nesse caso, podemos fazer o seguinte:
- encontre uma solução fracionária ideal para o LP duplo (uma correspondência fracionária máxima)y
- multiplique a solução por um fator de 2 (dobre todos os pesos das arestas)y
- converta isso em uma integral viável para o LP primitivo (cada aresta dá metade do seu peso do vetor a cada um dos pontos finais no vetor , então cada é substituído por ).x2yxximin(⌊xi⌋,1)
Nesse caso, essa estratégia simples funciona e acabamos com uma solução integral viável para o LP primário, cujo peso não é mais do que o dobro do peso de uma solução viável para o LP duplo. Como o peso de uma solução viável para o LP duplo é um limite inferior para o OPT, esse é um algoritmo de 2 aproximações.
Agora, de onde vem a lacuna de integralidade? O IG é 2 neste caso, mas isso por si só não implica que o algoritmo funcione. Em vez disso, sugere que pode funcionar. E se o IG fosse superior a 2, garantiria que a estratégia simples nem sempre funcionasse. No mínimo, teríamos que multiplicar a solução dupla pelo IG. Portanto, a diferença de integralidade às vezes nos diz o que não funciona. A lacuna de integralidade também pode indicar que tipo de fator de aproximação podemos esperar. Uma pequena lacuna de integralidade sugere que investigar estratégias de arredondamento, etc., pode ser uma abordagem que vale a pena.
Para um exemplo mais interessante, considere o problema do Conjunto de e a poderosa técnica de aproximação do problema usando -nets (Brönnimann & Goodrich, 1995) . Muitos problemas podem ser formulados como instâncias do Hitting Set, e uma estratégia que tem sido bem-sucedida em muitos problemas é fazer isso, basta encontrar um bom localizador de rede, ou seja, um algoritmo para construir pequenas e pôr em marcha tudo através o meta-algoritmo B&G. Assim, as pessoas (inclusive eu) tentam encontrar localizadores de rede para instâncias restritas do Hitting Set que, para qualquer , podem criar uma do tamanho , onde a funçãoεεεεf(1/ε)fdeve ser o menor possível. Ter é uma meta típica; isso daria uma aproximação .f(1/ε)=O(1/ε)O(1)
Como se vê, a melhor função possível é limitada pela lacuna de integralidade de um determinado LP para Hitting Set (Even, Rawitz, Shahar, 2005) . Especificamente, as soluções integrais e fracionárias ideais satisfazem . Para instâncias irrestritas do Hitting Set, o intervalo de integralidade é , mas ao formular outro problema como Hitting Set, o IG pode ser menor. Em este exemplo os autores mostram como encontrar -nets de tamanhofOPTI≤f(OPTf)Θ(log(m))εO((1/ε)loglog(1/ε))para as instâncias restritas do Conjunto de Acertos que correspondem ao problema de acertar caixas paralelas ao eixo. Dessa maneira, eles melhoram o fator de aproximação mais conhecido para esse problema. É um problema em aberto se isso pode ser melhorado ou não. Se, para essas instâncias restritas do Hitting Set, o IG do Hitting Set LP for , seria impossível projetar o net finder garantindo -nets do tamanho , pois isso implicaria a existência de um algoritmo que garante conjuntos de acertos integrais de tamanho , mas desdeΘ(loglogm)εo((1/ε)loglog(1/ε))o(OPTfloglogOPTf)OPTf≤misso implicaria uma menor lacuna de integralidade. Portanto, se a diferença de integralidade for grande, provar que isso poderia impedir as pessoas de perder tempo procurando bons buscadores de rede.