Encontre um argmax aproximado usando apenas consultas máximas aproximadas

Considere o seguinte problema.

Existem valores desconhecidos v 1 , ⋯ , v n ∈ R . A tarefa é encontrar o índice do maior usando apenas consultas do seguinte formulário. Uma consulta é especificada por um conjunto S ⊆ { 1 , ⋯ , n } e a resposta correspondente é max i ∈ S v i . O objetivo é usar o menor número possível de consultas.$n$$v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$$S \subseteq \{1,\cdots,n\}$$\max_{i \in S} v_i$

Esse problema é fácil: podemos usar a pesquisa binária para encontrar o argmax com consultas . isto é, construa uma árvore binária completa com n folhas correspondentes aos índices. Comece pela raiz e desça até uma folha da seguinte maneira. Em cada nó, consulte o valor máximo nas subárvores direita e esquerda e, em seguida, vá para a criança ao lado com a resposta maior. Ao alcançar uma folha, produza seu índice.$O(\log n)$$n$

A seguinte versão barulhenta desse problema surgiu em minha pesquisa.

Não há valores desconhecidos v 1 , ⋯ , v n . Estes podem ser acedidos com consultas em que um conjunto S ⊆ { 1 , ⋯ , n } é especificado e uma amostra a partir de N ( max i ∈ S v i , 1 ) é devolvido. O objectivo é o de identificar i * ∈ { 1 , ⋯ , n } de tal modo que E [ v i *$n$$v_1, \cdots, v_n$$S \subseteq \{1, \cdots, n\}$$\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$$i_* \in \{1, \cdots, n\}$ usando o menor número de consultas possível. (A expectativa é superior à escolha de i ∗ , que depende das moedas do algoritmo e das respostas ruidosas da consulta.)$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$$i_*$

$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$$1$$O(\log^2 n)$$O(\log^3 n)$

$O(\log^2 n)$$\Omega(\log^2 n)$$\tilde{O}(\log n)$$\Omega(1)$$0$$O(\log n)$

$B = \Theta(\log n)$$\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

$B$$\frac{n-1}{n}B$

$B-1$

$\log n$$(\log n)^2$

$\frac{B}{n}$

Desculpe, isso está meio cozido, mas espero que possa ser útil!