Poderia ser usada uma versão descritiva da complexidade do teorema de Rice para separar AC0 e PSPACE?

Em esta questão , foi mencionado que existem versões de complexidade descritivos do teorema de Rice. Encontrei uma prova do seguinte teorema:

Dada uma classe de complexidade C , propriedades não triviais de idiomas em C não podem ser computadas em C

Eu já havia postado a prova que encontrei, mas, por ser tão longa e apontada nos comentários, que este artigo já contém uma prova desse teorema, eu a removi. (Se, por algum motivo, você estiver desesperado para ver minha prova, consulte as revisões anteriores desta pergunta.)

Meu interesse é se esse teorema pode ou não ser usado para separar AC0 e PSPACE. Aqui está o argumento:

Considere a propriedade P da classe de complexidade AC0 definida da seguinte maneira:

P : a propriedade de ser uma consulta FO que aceita uma estrutura fixa específica, ou seja, a estrutura que consiste em um elemento, sem funções, sem constantes e sem relações

Claramente, pelo teorema acima, P não é decidível em AC0; é uma propriedade não trivial das consultas FO.

No entanto, um pequeno exame deve mostrar que calcular se uma consulta de FO aceita ou não uma estrutura tão simples pode ser decidido tão facilmente quanto o TQBF; assim, P é decidível no PSPACE.

Para garantir clareza sobre este ponto (que P é computável no PSPACE): Observe que a propriedade em que estamos interessados ​​exige que a estrutura seja FO. Portanto, estamos tentando determinar se uma consulta FO que está sendo executada em uma estrutura de elemento único sem relações aceita. Como não há relações com as quais lidar, deve ficar claro que a tarefa de decidir essa consulta FO é equivalente a decidir uma instância do TQBF; como não há relações, o único desafio que resta é avaliar se a fórmula booleana quantificada é verdadeira ou não. Isso é basicamente apenas TQBF, então P é computável no PSPACE.

Como P é computável no PSPACE, mas não no AC0, devemos concluir que AC0! = PSPACE. Esse raciocínio está correto ou cometi um erro em algum lugar? Estou particularmente preocupado com o parágrafo anterior; Tentarei esclarecer e atualizar o argumento amanhã, depois de ter a chance de pensar um pouco mais na exposição.

Eu aceitaria como resposta um exemplo de uma consulta FO que, ao calcular a estrutura sem relação de um elemento que eu descrevi, claramente não faz sentido como uma instância do TQBF. (Estou sugerindo que não há um, portanto, se você puder mostrar que existe, isso seria um contra-exemplo.)

Obrigado.

Decidir as propriedades não triviais de conjuntos (de indexação) em uma classe de complexidade é tão difícil quanto calcular o gráfico da função universal da classe. Intuitivamente, isso significa que a única maneira de decidir uma propriedade não trivial é simular as máquinas e aguardar respostas. Parece-me que a idéia de usar tal propriedade fornecerá apenas o que é conhecido pelos teoremas da hierarquia. (Veja o teorema 4.2 de D. Kozen, " Indexação de classes sub-recursivas ", 1978 para obter detalhes e a declaração exata do teorema.)

$grU_{AC^0}$$AC^0$$PSpace$$AC^0 \subseteq L$$L$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$FO$$PSpace$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$PSapce$

$AC^0 \subseteq L \subset PSpace$