A correspondência máxima M com a condição G [M] é 2K_2-free

Existe algo na literatura próximo ao seguinte problema:

Dado um gráfico bipartido com bipartição balanceada , existe uma combinação perfeita em modo que para cada 2 arestas , existe uma aresta ou borda (ou ambos) em ? $G(V,E)$ $\{U,W\}$ $M$ $G$ $u_1w_1, u_2w_2\in M$ $u_1w_2$ $u_2w_1$ $G$

Em outras palavras, existe uma correspondência perfeita de tal modo que o subgráfico induzida é -livre. (Com bipartição equilibrada, eu quis dizer .) $M$ $G[M]$ $2K_2$ $|U|=|W|$

A condição extra é algo como um extremo oposto ao usado no problema de correspondência induzida. Outro problema possivelmente relacionado é o problema de encontrar o tamanho máximo correspondente a no gráfico bipartido modo que a contração das arestas em minimize o número de arestas restantes no gráfico. $M$ $G$ $M$

Verifiquei a lista de problemas relacionados à correspondência fornecidos por Plummer em Correspondência e embalagem de vértices: quão "difíceis" são? sem sucesso.

PS: Esse problema é um caso especial desse problema de decisão: - Para um dado , existe um máximo correspondente de um gráfico bipartido modo que seja livre e . Se o gráfico de entrada estiver equilibrado bipartido e , obtemos o problema acima. $k\in\mathbb{N}$ $M$ $G$ $G[M]$ $2K_2$ $|M|>k$ $k=|U|$

Obrigado.

matching

— Cyriac Antony
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a correspondência perfeita pode não ser a palavra correta. Estamos basicamente perguntando se existe uma correspondência máxima com tamanho

com a propriedade mencionada.

| U |

$|U|$

— Cyriac Antony

Em certo sentido, estamos pedindo algo oposto ao que é chamado de correspondência forte. Um forte correspondente

em um gráfico

é um emparelhamento

de tal modo que não há nenhuma vantagem em

de conectar os dois bordos de

M

$M$

G

$G$

M

$M$

G

$G$

M

$M$

— Cyriac Antony

Desculpe, por

, eu quis dizer o subgrafo de

induzido por vértices 'em'

G [M]

$G[M]$

G

$G$

M

$M$

— Cyriac Antony

Respostas:

Surpresa! (para mim).
Esse tipo de correspondência já é estudado na literatura. Eles são chamados de correspondências conectadas .

Eles foram apresentados por Plummer, Stiebitz e Toft em seu estudo sobre a conjectura de Hadwiger. Veja o capítulo "Correspondências conectadas" de Cameron no livro "Otimização combinatória - Eureka, você encolhe!"

O status das correspondências conectadas nos gráficos bipartidos (não necessário balanceado) está aberto para o melhor de meu conhecimento ( atualizarei ). A versão ponderada do problema é NP-complete para gráficos bipartidos. O problema é solucionável no tempo polinomial para gráficos bipartidos de acordes.

$n^{1-\epsilon}$

Notas adicionadas anteriormente (mantidas para as pessoas interessadas):
" Correspondências conectadas em gráficos bipartidos de acordes " por Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) e " Correspondências conectadas em famílias especiais de gráficos " de Caragianis (tese) são duas referências notáveis.

— Cyriac Antony
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$M$ $G$ $M$ $G$
$e$ $e’$ $e$ $e’$

$L(G)$ $G$

Sabe-se que o problema de conjunto fixo é NP-completo em algumas classes de gráfico. Não sei seu status em gráficos de linha de gráficos bipartidos. O artigo diz que é NP-completo em gráficos bipartidos. Nosso interesse aqui será na classe de gráficos de linha de gráficos bipartidos.

— Cyriac Antony
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editado para corrigir um erro; Eu pensei que gráficos de linha de gráficos bipartidos são bipartidos. :)

— Cyriac Antony

Eu acho que deveria haver um +1 na sua definição de distância entre as arestas (pela definição atual, as arestas de M estariam na distância 1, pois existe uma aresta - um caminho de comprimento 1 - conectando cada par de arestas de M, mas você quer dizer a distância 2).

— Florent Foucaud

corrigido como "arestas ... estão à distância 1 uma da outra". Obrigado @Florent Foucaud

— Cyriac Antony

Isso funciona, mas agora, infelizmente, sua "distância das arestas" não corresponde à distância do vértice dos vértices correspondentes no gráfico de linhas.

— Florent Foucaud

Para tornar a modelagem mais próxima do seu problema, lembre-se de que uma correspondência máxima em um gráfico corresponde a um conjunto independente máximo em seu gráfico de linhas. Portanto, no gráfico de linhas, você está procurando um conjunto forte que também seja um conjunto independente máximo (em particular, também deve ser um conjunto dominante).

— Florent Foucaud