W [1] - problemas difíceis com algoritmos de aproximação de tempo do FPT

Estou procurando problemas difíceis de resolver no tempo do FPT, mas que possuem um algoritmo de aproximação. Ou seja, problemas que são:

R1. W [1] -hard.

R2. Admita um algoritmo de aproximação (de preferência constante) no tempo do FPT.

O problema com o qual estou familiarizado é contar o número de caminhos simples de comprimento em um gráfico. É conhecido por ser #W [1] -hard , mas admite uma aproximação no tempo do FPT (para qualquer constante ).( 1 + ϵ )$k$$(1+\epsilon)$$\epsilon$

Também interessantes seriam os problemas que satisfazem R1 e R2 e também:

R3. Existe tal que o problema não é aproximado no tempo do FPT (a menos que W [1] = FPT).( 1 + ϵ $\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

Que outros problemas satisfazem R1 e R2, e possivelmente R3?

No problema Transversal do Ciclo Estranho Dirigido, a entrada é um gráfico e a tarefa é encontrar um conjunto menor de vértices de modo que não tenha ciclos (direcionados) de comprimento ímpar. Na versão parametrizada, também recebemos um número e perguntamos se existe uma solução de tamanho no máximo .S G - S k $G$$S$$G-S$$k$$k$

No presente documento que provar que (R1), o problema é W -Hard, (R2) que admite um algoritmo de aproximação factor de dois em vez , e que (R3 ') assumindo uma hipótese um pouco mais forte que que existe um tal que o problema não admita um algoritmo de aproximação no tempo .2 k O ( 1 ) n O ( 1 ) F P T ≠ W [ 1 ] ϵ > 0 ( 1 + ϵ ) f ( k ) n O ( 1 $[1]$$2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$$FPT \neq W[1]$$\epsilon > 0$$(1+\epsilon)$$f(k)n^{O(1)}$

Em [1], os autores provam que o MaxSAT parametrizado pela largura de clique (resp. Diversidade de vizinhos) do gráfico de incidência da fórmula CNF possui um FPT-AS (Esquema de Aproximação Tratável de Parâmetro Fixo), mas sabe-se que o MaxSAT parametrizou por largura de clique (resp. diversidade de vizinhos) é W [1] -hard.

O teorema baseia-se principalmente em um resultado de [2] que diz aproximadamente que gráficos de largura de clique limitada sem grandes panelinhas também têm largura de árvore limitada. Assim, eles cortam com inteligência a fórmula para que eles não tenham grande clique no gráfico de incidência e resolvam a fórmula reduzida no tempo do FPT usando um algoritmo conhecido para MaxSAT em largura de árvore limitada. Acho que essa abordagem também pode funcionar em outros problemas.

[1] Holger Dell, Eun Jung Kim, Michael Lampis, Valia Mitsou, Tobias Mömke: complexidade e aproximabilidade de MAX-CSPs parametrizados. IPEC 2015

[2] Gurski, F., & Wanke, E. (2000, junho). A largura da árvore dos gráficos delimitados por largura da clique sem K n, n . No Workshop Internacional sobre Conceitos Teórico-Gráficos em Ciência da Computação (pp. 196-205). Springer, Berlim, Heidelberg.

Em Coloração defeituosa , recebemos um gráfico e um número inteiro Δ ∗ e é solicitado que particionemos os vértices de G no número mínimo possível de classes de cores, de modo que cada classe induza um gráfico de grau máximo no máximo Δ ∗ . (Se Δ ∗ = 0, este problema é apenas coloração ).$G$$\Delta^*$$G$$\Delta^*$$\Delta^*=0$

Em [1], mostramos o seguinte em relação a esse problema parametrizado por largura de árvore : (R1) o problema é W [1] -hard; (R2) o número mínimo de cores pode ser aproximado em 2 no tempo do FPT; (R3) não existe -approximation em FPT tempo, sob hipóteses normalizadas.$(3/2-\epsilon)$

[1] Rémy Belmonte, Michael Lampis e Valia Mitsou: coloração defeituosa parametrizada (aproximada). STACS '18.

O problema do corte k é remover um número mínimo de arestas para criar pelo menos k componentes. W [1] rígido quando parametrizado por k, mas admite uma aproximação 2 para qualquer k.

(Esta pergunta foi feita há dois anos, mas postarei a resposta para outras pessoas que possam vê-la.)

$k$$F$$f$$u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$$C$$d$$F\cup C$$k$$S \subseteq F$$k$$\phi:C\rightarrow S$$|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$$f \in S$$\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$$W[2]$$k$https://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf )